Hướng dẫn giải bài bác §2. Rất trị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ đồ dùng thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 bao hàm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích bao gồm trong SGK sẽ giúp các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài 1 toán 12 trang 18


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x)) tiếp tục trên khoảng chừng $(a;b)$ với điểm (x_0in(a;b)):

– Hàm số (f(x)) đạt cực to tại (x_0) nếu

(f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left x_0 ight ,h>0)

– Hàm số (f(x)) đạt cực tiểu trên x0 nếu

(f(x_0)0).

2. Điều kiện bắt buộc và đk đủ để hàm số gồm cực trị

a) Điều kiện yêu cầu để hàm số gồm cực trị

(f(x)) đạt cực trị tại (x_0), bao gồm đạo hàm trên (x_0) thì (f"(x_0)=0).

b) Điều khiếu nại đủ để hàm số có cực trị

♦ Định lí 1.


Cho hàm số y = f(x) liên tiếp trên khoảng tầm K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và tất cả đạo hàm bên trên K hoặc trên K (setminus) x0 .

– nếu như (left{ matrix{f’left( x ight) > 0|forall left( x_0 – h;,,x_0 ight) hfill cr f’left( x ight) 0 là điểm cực đại của hàm số

– nếu (left{ matrixforall left( x_0;,,x_0 + h ight) hfill cr ight.) thì x0 là vấn đề cực tiểu của hàm số

♦ Định lí 2.

Cho hàm số y = f(x) bao gồm đạo hàm trung học phổ thông trên khoảng tầm K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).

– ví như f"(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là vấn đề cực tiểu của hàm số f.

– nếu như f"(x0) = 0, f”(x0) 0 là điểm cực lớn của hàm số f.

3. Luật lệ tìm rất trị

a) quy tắc $I$


– kiếm tìm tập xác định.

– Tính f"(x). Tìm những điểm tại đó f"(x) bằng 0 hoặc f"(x) ko xác định.

– Lập bảng thay đổi thiên.

– trường đoản cú bảng thay đổi thiên suy ra những điểm cực trị.

b) nguyên tắc $II$

– tìm tập xác định.


– Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) = 0 với kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.

– Tính f”(x) với f”(xi)

– ví như f”(xi) > 0 thì xi là điểm rất tiểu. Nếu f”(xi) i là điểm rất đại.

Chú ý: nếu (f”(x_i)=0) thì ta bắt buộc dùng phép tắc I nhằm xét rất trị tại.

Dưới đó là phần phía dẫn trả lời các câu hỏi và bài xích tập vào phần buổi giao lưu của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 13 sgk Giải tích 12

Dựa vào đồ dùng thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra những điểm tại kia mỗi hàm số sau có giá trị lớn số 1 (nhỏ nhất):


*

Trả lời:

a) Từ thiết bị thị hàm số ta thấy: trên (x = 0) hàm số có mức giá trị lớn nhất bằng (1).

Xét lốt đạo hàm:

*

b) Từ vật dụng thị hàm số ta thấy:

Tại (x = 1) hàm số có giá trị lớn nhất bằng (displaystyle 4 over 3)

Tại (x = 3) hàm số có mức giá trị nhỏ tuổi nhất bằng (0).


Xét vệt đạo hàm:

*

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 14 sgk Giải tích 12


Giả sử f(x) đạt cực to tại (x_0). Hãy chứng minh khẳng định 3 trong để ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số (f(x_0 + Delta x) – ,f(x_0) over Delta x) khi $Δx → 0$ trong nhị trường hòa hợp $Δx > 0$ cùng $Δx 0$ ta có:

(mathop lim limits_Delta x o 0^ + dfracfleft( x_0 + Delta x ight) – fleft( x_0 ight)Delta x = 0 = f’left( x_0^ + ight))

– với $Δx

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 14 sgk Giải tích 12

a) sử dụng đồ thị, hãy xem xét những hàm số sau đây có cực trị hay không.

$y = -2x + 1;$

(y = x(x – 3)^2 over 3,,,(H.8))

b) Nêu quan hệ giữa sự tồn tại cực trị với dấu của đạo hàm.

*

Trả lời:

a) Hàm số $y = -2x + 1$ không tồn tại cực trị.

Hàm số (y = x(x – 3)^2 over 3) đạt cực lớn tại $x = 1$ với đạt cực tiểu trên $x = 3$.

b) nếu hàm số tất cả cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên cần điểm cực trị sẽ khác nhau.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 16 sgk Giải tích 12

Chứng minh hàm số $y = |x|$ không có đạo hàm tại $x = 0$. Hàm số có đạt rất trị tại đặc điểm đó không?

Trả lời:

Ta có:

(y = ,|x|, = left{ matrix{x;,,x ge 0 hfill cr– x;,,x 1;,,x ge 0 hfill cr– 1;,,x

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 16 sgk Giải tích 12

Áp dụng luật lệ $I$, hãy tìm các điểm rất trị của hàm số (f(x) = x(x^2 – 3)).

Trả lời:

TXĐ: $D = R$

$f’(x) = 3x^2 – 3$. Mang lại $f’(x) = 0 ⇔ x = 1$ hoặc $x = -1$.

Ta bao gồm bảng vươn lên là thiên:

*

Vậy:

– Hàm số đạt cực lớn tại $x = -1$ với giá trị cực to là $2$

– Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 1$ và cực hiếm cực tiểu là $-2$.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy gọi kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

firmitebg.com reviews với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài bác tập giải tích 12 kèm bài giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12 của bài §2. Rất trị của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ đồ vật thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng luật lệ $I$, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10).

b) (y = x^4+ 2x^2 – 3).

c) (y = x + frac1x).

d) (y = x^3(1 – x)^2).

e) (y = sqrt x^2-x+1).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Ta bao gồm đạo hàm: (y’ = 6x^2 + 6x – 36)

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 2\ x = – 3 endarray ight.)

Với $x=2$ ta có $y=-54$.

Với $x=-3$ ta bao gồm $y=71$.

– Bảng phát triển thành thiên:

*

Hàm số đạt cực to tại $x=-3$, giá bán trị cực to $y_cđ = y(-3) = 71.$

Hàm số đạt rất tiểu tại $x = 2$, cực hiếm cực tiểu $y_ct= y(2) =- 54.$

b) Xét hàm số (y = x^4+ 2x^2 – 3)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1))

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 0)

Với $x=0$ ta có $y=-3$.

– Bảng biến thiên của hàm số:

*

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, quý giá cực đái $y_ct= y(0)=- 3.$

Hàm số không có cực đại.

c) Xét hàm số (y = x + frac1x)

– Tập xác định: (D = mathbbRackslash left 0 ight\)

– Đạo hàm:

(y’=1-frac1x^2=fracx^2-1x^2=frac(x-1)(x+1)x^2)

(y’ = 0 Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = – 1\ x = 1 endarray ight.)

Với $x = 1$ ta tất cả $y = 2.$

Với $x = -1$ ta gồm $y = -2.$

– Bảng đổi mới thiên:

*

Hàm số đạt cực lớn tại $x=-1$, giá bán trị cực to $y_cđ = y(-1) = -2.$

Hàm số đạt rất tiểu trên $x = 1$, quý hiếm cực đái $y_ct = y(1) = 2.$

d) Xét hàm số (y = x^3(1 – x)^2)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x) = x^2(1 – x)(3 – 5x))

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 1\ x = frac35\ x = 0 endarray ight.)

Với (x=1) ta có (y=0.)

Với (x=frac35) ta bao gồm (y=frac1083125.)

Với x=0 ta có (y=0.)

– Bảng phát triển thành thiên:

*

Hàm số đạt cực đại tại (x=frac35,) giá trị cực đại (y_cđ =yleft ( frac35 ight )frac1083125.)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1,) quý giá cực tè (y_ct=y(1)=0.)

e) Xét hàm số (y = sqrt x^2-x+1)

– Tập xác định: (D=mathbbR).

– Đạo hàm: (y’ = frac2x – 12sqrt x^2 – x + 1 )

(y’ = 0 Leftrightarrow 2x – 1 = 0 Leftrightarrow x = frac12)

Với (x=frac12) ta gồm (y=fracsqrt 32).

– Bảng phát triển thành thiên:

*

Vậy hàm số đạt cực tiểu trên (x=frac12), cực hiếm cực tiểu (y_ct=yleft ( frac12 ight )=fracsqrt 32.)

2. Giải bài 2 trang 18 sgk Giải tích 12

Áp dụng luật lệ II, hãy tìm những điểm rất trị của hàm số sau:

a) (y = x^4 – 2x^2 + 1).

b) (y=sin 2x – x).

c) (y = sinx + cosx).

d) (y = x^5 – x^3 – 2x + 1).

Bài giải:

a) Hàm số (y = x^4 – 2x^2 + 1).

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = 4x^3- m 4x m = m 4x(x^2 – m 1)) ;

(y’ = 0) (⇔ 4x()(x^2)( – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).

( y” = 12x^2-4).

(y”(0) = -4 CĐ = ( y(0) = 1).

(y”(pm 1) = 8 > 0) bắt buộc hàm số đạt rất tiểu trên (x = pm1),

(y)CT = (y(pm1)) = 0.

b) Hàm số (y=sin 2x – x)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y’ = 2cos2x – 1) ;

(y’=0Leftrightarrow cos2x=frac12Leftrightarrow 2x=pm fracpi 3+k2pi)

(Leftrightarrow x=pm fracpi 6+kpi .)

(y” = -4sin2x) .

(y”left ( fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft ( fracpi 3 +k2pi ight )=-2sqrt3CĐ = ( sin(fracpi 3+ k2π) – fracpi 6 – kπ) = (fracsqrt32-fracpi 6- kπ) , (k ∈mathbb Z).

(y”left ( -fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft (- fracpi 3 +k2pi ight )=2sqrt3>0) buộc phải hàm số đạt rất tiểu tại các điểm (x =-fracpi 6+ kπ),

(y)CT = (sin(-fracpi 3+ k2π) + fracpi 6 – kπ) =(-fracsqrt32+fracpi 6 – kπ) , (k ∈mathbb Z).

c) Hàm số (y = sinx + cosx)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y = sinx + cosx = sqrt2sinleft (x+fracpi 4 ight ));

( y’ =sqrt2cosleft (x+fracpi 4 ight )) ;

(y’=0 Leftrightarrow cosleft (x+fracpi 4 ight )=0Leftrightarrow)(x+fracpi 4 =fracpi 2+kpi Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi .)

(y”=-sqrt2sinleft ( x+fracpi 4 ight ).)

(y”left ( fracpi 4 +kpi ight )=-sqrt2sinleft ( fracpi 4+kpi +fracpi 4 ight ))

(=-sqrt2sinleft ( fracpi 2 +kpi ight ))

(=left{ matrix– sqrt 2 ext ví như k chẵn hfill crsqrt 2 ext ví như k lẻ hfill cr ight.)

Do kia hàm số đạt cực lớn tại các điểm (x=fracpi 4+k2pi), đạt cực tiểu tại các điểm (x=fracpi 4+(2k+1)pi (kin mathbbZ).)

d) Hàm số (y = x^5 – x^3 – 2x + 1)

– TXĐ: $D = R$.

– Đạo hàm:

(y" m = m 5x^4 – m 3x^2 – m 2 m = m (x^2 – m 1)(5x^2 + m 2)); (y" m = m 0 Leftrightarrow x^2 – m 1 m = m 0 Leftrightarrow m x m = pm 1).

(y” m = m 20x^3 – m 6x).

(y”(1) = 14 > 0) buộc phải hàm số đạt rất tiểu tại (x = 1),

(y)CT = ( y(1) = -1).

(y”(-1) = -14 CĐ = (y(-1) = 3).

3. Giải bài xích 3 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số (y=sqrtleft ) không tồn tại đạo hàm trên (x = 0) tuy thế vẫn đạt rất tiểu trên điểm đó.

Bài giải:

– chứng tỏ hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm (x=0):

(eginarrayly = fleft( x ight) = sqrt left = left{ eginarraylsqrt x ,,khi,,x ge 0\sqrt – x ,,khi,,x mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ + fracsqrt x x = mathop lim limits_x o 0^ + frac1sqrt x = + infty \mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x x = mathop lim limits_x o 0^ – fracsqrt – x – left( sqrt – x ight)^2 = mathop lim limits_x o 0^ – frac – 1sqrt – x = – infty \Rightarrow mathop lim limits_x o 0^ + fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0 e mathop lim limits_x o 0^ – fracfleft( x ight) – fleft( 0 ight)x – 0endarray)

(Rightarrow) không tồn trên đạo hàm của hàm số đã mang lại tại (x = 0).

– chứng tỏ hàm số đạt rất tiểu trên (x=0) :

Với (h>0) là một số thực bất cứ ta có:

(eginarraylfleft( x ight) = sqrt x ight ge 0,,forall x in left( – h;h ight)\fleft( 0 ight) = 0\Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( – h;h ight)endarray)

Theo quan niệm điểm cực trị của hàm số ta kết luận (x=0) là vấn đề cực đái của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt ).

4. Giải bài bác 4 trang 18 sgk Giải tích 12

Chứng minh rằng với tất cả giá trị của tham số m, hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1) luôn luôn luôn tất cả một điểm cực lớn và một điểm rất tiểu.

Bài giải:

Xét hàm số (y = x^3 – mx^2 – 2x + 1)

– Tập xác định (D=mathbbR.)

– Đạo hàm:

(y’ = 3x^2 – 2mx – 2), (Delta ‘_y’ = m^2 + 6 > 0,forall m) bắt buộc phương trình $y’=0$ luôn luôn có hai nghiệm rành mạch và $y’$ đổi vết khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực to và một cực tiểu.

5. Giải bài 5 trang 18 sgk Giải tích 12

Tìm (a) và (b) để các cực trị của hàm số

(y=frac53a^2x^3+2ax^2-9x+b)

đều là các số dương và (x_0=-frac59) là điểm cực đại.

Bài giải:

♦ TH1: (a = 0) hàm số biến chuyển (y = -9x + b).

TXĐ: $D = R$.

Trường hợp này hàm số bao gồm (a=-1 0\Leftrightarrow frac53.left( – frac95 ight)^2 + 2.left( – frac95 ight) – 9 + b > 0Leftrightarrow b > frac365endarray)

Với (a > 0) ta tất cả (frac1a > frac – 95a) ta tất cả bảng vươn lên là thiên :

*

Từ BBT ta gồm (x_CĐ=frac-95a).

Vì (x_0=-frac59) là điểm cực đại nên (-frac95a=-frac59Leftrightarrow a=frac8125) ™. Theo yêu thương cầu vấn đề thì: (y_(ct)=yleft ( frac1a ight )=yleft ( frac2581 ight )>0)

(Leftrightarrow frac53cdot left ( frac8125 ight )^2left ( frac2581 ight )^3+2.frac8125cdot left ( frac2581 ight )^2-9cdot frac2581+b>0)

(Leftrightarrow b>frac400243.)

Vậy những giá trị (a, b) buộc phải tìm là: (left{eginmatrix a=-frac95 và \ b>frac365 & endmatrix ight.) hoặc (left{eginmatrix a=frac8125 & \ b>frac400243 & endmatrix ight.).

6. Giải bài bác 6 trang 18 sgk Giải tích 12

Xác định giá trị của thông số (m) nhằm hàm số (y=fracx^2+mx+1x+m) đạt cực đại tại (x = 2).

Bài giải:

Tập xác định : (D=mathbbRsetminus left -m ight ;)

Ta có:

(eginarrayly’ = fracleft( 2x + m ight)left( x + m ight) – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = frac2x^2 + 2mx + mx + m^2 – x^2 – mx – 1left( x + m ight)^2\y’ = fracx^2 + 2mx + m^2 – 1left( x + m ight)^2endarray)

Hàm số đạt cực đại tại (x = 2Rightarrow y"(2) = 0) (⇔ m^2 + m 4m m + m 3 m = m 0)( ⇔ m=-1) hoặc (m=-3)

♦ cùng với (m = -1), ta gồm : (y=fracx^2-x+1x-1;)

TXĐ: (Rackslash left 1 ight\)

(y’=fracx^2-2x(x-1)^2; y’=0Leftrightarrow left{eginmatrix x^2 -2x=0& \ x eq 1 và endmatrix ight.)

(Leftrightarrow x=0) hoặc (x=2).

Ta bao gồm bảng trở nên thiên :

*

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực to tại (x = 2).

♦ cùng với (m = -3), ta có: (y=fracx^2-3x+1x-3;)

TXĐ: (D = Rackslash left 3 ight\)

(y’ = fracx^2 – 6x + 8left( x – 3 ight)^2;,,y’ = 0 Leftrightarrow left<eginarraylx = 2\x = 4endarray ight.)

Ta có bảng thay đổi thiên :

*

Trường phù hợp này ta thấy hàm số đạt cực to tại (x = 2).

Xem thêm: Kỷ Mùi Mệnh Gì Tuổi Gì? Giải Đáp Về Vận Mệnh Người Sinh Năm 1979

Vậy (m = -3) là giá chỉ trị yêu cầu tìm.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 cùng với giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 18 sgk Giải tích 12!