Bài viết trình bày kim chỉ nan và các dạng toán phép tịnh tiến trong lịch trình Hình học 11 chương 1. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu phép dời hình cùng phép đồng dạng trong mặt phẳng được share trên firmitebg.com.

Bạn đang xem: Bài tập phép tịnh tiến

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Định nghĩa phép tịnh tiến• Trong phương diện phẳng mang đến vectơ $overrightarrow v $. Phép trở thành hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M’$ sao cho $overrightarrow MM’ = overrightarrow v $ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow v $, ký kết hiệu $T_overrightarrow v .$• $T_overrightarrow v left( M ight) = M’$ $ Leftrightarrow overrightarrow MM’ = overrightarrow v .$2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $Mleft( x;y ight)$ và $overrightarrow v = left( a;b ight).$ khi đó: $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Leftrightarrow overrightarrow MM’ = overrightarrow v $ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ – x = a\y’ – y = bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$3. Các tính chất của phép tịnh tiến• Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.• Phép tịnh tiến biến hóa đường thẳng thành đường thẳng tuy vậy song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.• Phép tịnh tiến biến đổi đoạn thẳng thành đoạn thẳng bởi đoạn thẳng đang cho.• Phép tịnh tiến biến đổi tam giác thành tam giác bởi tam giác đã cho.• Phép tịnh tiến biến chuyển đường tròn thành đường tròn bao gồm cùng bán kính.

B. CÁC DẠNG TOÁN PHÉP TỊNH TIẾNDạng toán 1. Xác định hình ảnh của một hình qua phép tịnh tiếnPhương pháp: Sử dụng tư tưởng và các đặc thù hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, dựng ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow BC .$

*

Ta có: $T_overrightarrow BC left( B ight) = C.$Để tìm hình ảnh của điểm $A$, ta dựng hình bình hành $ABCD.$Do $overrightarrow AD = overrightarrow BC $ nên $T_overrightarrow BC left( A ight) = D.$Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$, khi đó: $overrightarrow CE = overrightarrow BC .$Suy ra $T_overrightarrow BC left( C ight) = E.$Vậy hình ảnh của tam giác $ABC$ là tam giác $DCE$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , đến $overrightarrowv=left( -2;3 ight)$. Hãy tìm ảnh của điểm $Aleft( 1;-1 ight)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$.

Gọi $A’left( x’;y’ ight)$ là hình ảnh của điểm $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$.Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$Ta có: $A’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( A ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = 1 + ( – 2)\y’ = – 1 + 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ = – 1\y’ = 2endarray ight.$ $ Rightarrow A’left( – 1;2 ight).$

Ví dụ 3. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, cho $overrightarrow v = left( 1; – 3 ight)$ và mặt đường thẳng $d$ có phương trình $2x – 3y + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt đường thẳng $d’$ là hình ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến $T_overrightarrow v .$

Cách 1.Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $2x – 3y + 5 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x + 1\y’ = y – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – 1\y = y’ + 3endarray ight.$Thay vào $(*)$ ta được phương trình $2left( x’ – 1 ight) – 3left( y’ + 3 ight) + 5 = 0$ $ Leftrightarrow 2x’ – 3y’ – 6 = 0.$Vậy ảnh của $d$ là con đường thẳng $d’:2x – 3y – 6 = 0.$Cách 2.Do $d’ = T_overrightarrow v left( d ight)$ nên $d’$ song song hoặc trùng với $d$, vì vậy phương trình mặt đường thẳng $d’$ có dạng $2x – 3y + c = 0.$Lấy điểm $Mleft( – 1;1 ight) in d.$ Khi đó $M’ = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ = left( – 1 + 1;1 – 3 ight) = left( 0; – 2 ight).$Do $M’ in d’$ $ Rightarrow 2.0 – 3.left( – 2 ight) + c = 0$ $ Leftrightarrow c = – 6.$Vậy ảnh của $d$ là con đường thẳng: $d’:2x – 3y – 6 = 0.$Cách 3.Lấy $Mleft( – 1;1 ight)$, $Nleft( 2;3 ight)$ thuộc $d$, ảnh của $M$, $N$ qua phép tịnh tiến $T_overrightarrow v $ khớp ứng là $M’left( 0; – 2 ight)$, $N’left( 3;0 ight).$Vì $d’$ đi qua nhì điểm $M’, N’$ nên $d’$ tất cả phương trình $fracx – 03 = fracy + 22$ $ Leftrightarrow 2x – 3y – 6 = 0.$

Ví dụ 4. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $left( C ight)$ có phương trình $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0.$ Tìm ảnh của $left( C ight)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow v = left( 2; – 3 ight).$

Cách 1.Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc đường tròn $left( C ight)$, ta có: $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x + 2\y’ = y – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – 2\y = y’ + 3endarray ight.$Thay vào phương trình $(*)$ ta được: $left( x’ – 2 ight)^2 + left( y’ + 3 ight)^2$ $ + 2left( x’ – 2 ight) – 4left( y’ + 3 ight) – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x‘^2 + y‘^2 – 2x’ + 2y’ – 7 = 0.$Vậy hình ảnh của $left( C ight)$ là con đường tròn $left( C’ ight)$: $x^2 + y^2 – 2x + 2y – 7 = 0.$Cách 2.Ta có: $left( C ight)$ có tâm $Ileft( – 1;2 ight)$ và cung cấp kính $r = 3.$Gọi $left( C’ ight) = T_overrightarrow v left( left( C ight) ight)$ và $I’left( x’;y’ ight)$, $r’$ là vai trung phong và bán kính của $(C’).$Ta có: $left{ eginarraylx’ = – 1 + 2 = 1\y’ = 2 – 3 = – 1endarray ight.$ $ Rightarrow I’left( 1; – 1 ight)$ và $r’ = r = 3$ nên phương trình của đường tròn $left( C’ ight)$ là: $left( x – 1 ight)^2 + left( y + 1 ight)^2 = 9.$

Dạng toán 2. Khẳng định phép tịnh tiến khi biết ảnh và chế tác ảnhPhương pháp: Xác định phép tịnh tiến có nghĩa là tìm tọa độ của $overrightarrowv$. Để tìm kiếm tọa độ của $overrightarrowv$ ta hoàn toàn có thể giả sử $overrightarrowv=left( a;b ight)$, sử dụng những dữ kiện trong trả thiết của câu hỏi để thiết lập hệ phương trình hai ẩn $a,b$ và giải hệ tìm kiếm $a,b$.Ví dụ 5. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, đến đường trực tiếp $d:3x+y-9=0$. Search phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$ bao gồm giá tuy nhiên song với $Oy$ biến $d$ thành $d’$ trải qua điểm $Aleft( 1;1 ight)$.

Vì $overrightarrow v $ có giá song song với $Oy$ nên $overrightarrow v = left( 0;k ight)$ $left( k e 0 ight).$Lấy $Mleft( x;y ight) in d$ $ Rightarrow 3x + y – 9 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x\y’ = y + kendarray ight.$Thay vào $left( * ight)$, ta được: $3x’ + y’ – k – 9 = 0.$Do đó: $T_overrightarrow v left( d ight) = d’:$ $3x + y – k – 9 = 0.$Mà: $Aleft( 1;1 ight)$ thuộc $d$, suy ra: $k = – 5.$Vậy $overrightarrow v = left( 0; – 5 ight).$

Ví dụ 6. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai tuyến đường thẳng $d:2x – 3y + 3 = 0$ và $d’:2x – 3y – 5 = 0.$ Tìm tọa độ $overrightarrow v $ có phương vuông góc cùng với $d$ để $T_overrightarrow v left( d ight) = d’.$

Đặt $overrightarrow v = left( a;b ight).$Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $d:2x – 3y + 3 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight).$ Ta có $left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – a\y = y’ – bendarray ight.$, thay vào $(*)$ ta được phương trình: $2x’ – 3y’ – 2a + 3b + 3 = 0.$Từ mang thiết suy ra $ – 2a + 3b + 3 = – 5$ $ Leftrightarrow 2a – 3b = – 8.$Vectơ pháp con đường của con đường thẳng $d$ là $overrightarrow n = left( 2; – 3 ight)$, suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là $overrightarrow u = left( 3;2 ight).$Do $overrightarrow v ot overrightarrow u $ $ Rightarrow overrightarrow v .overrightarrow u = 3a + 2b = 0.$Ta bao gồm hệ phương trình $left{ eginarrayl2a – 3b = – 8\3a + 2b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla = – frac1613\b = frac2413endarray ight.$Vậy $overrightarrow v = left( – frac1613;frac2413 ight).$

Dạng toán 3. Dùng phép tịnh tiến nhằm giải những bài toán dựng hìnhPhương pháp:• Để dựng một điểm $M$ ta tìm biện pháp xem nó là hình ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem $M$ là giao điểm của nhì đường trong số đó một đường cố định và thắt chặt còn một con đường là ảnh của một mặt đường đã biết qua phép tịnh tiến.• sử dụng kết quả: Nếu $T_overrightarrow v left( N ight) = M$ và $N in left( H ight)$ thì $M in left( H’ ight)$, vào đó $left( H’ ight) = T_overrightarrow v left( left( H ight) ight)$ và phối kết hợp với $M$ thuộc hình $left( K ight)$ (theo mang thiết) để suy ra $M in left( H’ ight) cap left( K ight).$

Ví dụ 7. Cho con đường tròn chổ chính giữa $O$, bán kính $R$ và hai điểm rành mạch $C,D$ nằm ngoài $left( O ight)$. Hãy dựng dây cung $AB$ của đường tròn $left( O ight)$ thế nào cho $ABCD$ là hình bình hành.

*

Phân tích: trả sử vẫn dựng được dây cung $AB$ thỏa mãn yêu cầu bài xích toán.Do $ABCD$ là hình bình hành nên $overrightarrow AB = overrightarrow DC $ $ Rightarrow T_overrightarrow CD left( A ight) = B.$Nhưng $A in left( O ight)$ $ Rightarrow B in left( O’ ight) = T_overrightarrow DC left( left( O ight) ight).$ Vậy $B$ vừa trực thuộc $left( O ight)$ và $left( O’ ight)$ nên $B$ chính là giao điểm của $left( O ight)$ và $left( O’ ight).$Cách dựng:+ Dựng mặt đường tròn $left( O’ ight)$ là ảnh của con đường tròn $left( O ight)$ qua $T_overrightarrow DC .$+ Dựng giao điểm $B$ của $left( O ight)$ và $left( O’ ight).$+ Dựng đường thẳng qua $B$ và tuy vậy song với $CD$ cắt $left( O ight)$ tại $A.$Dây cung $AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài bác toán.Chứng minh: Từ bí quyết dựng ta bao gồm $T_overrightarrow DC left( A ight) = B$ $ Rightarrow overrightarrow AB = overrightarrow DC $ $ Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.Nhận xét:+ giả dụ $CD>2R$ thì vấn đề vô nghiệm .+ nếu như $CD=2R$ thì bao gồm một nghiệm .+ nếu như $CDVí dụ 8. Cho tam giác $ABC$. Dựng mặt đường thẳng $d$ song song với $BC$, cắt hai cạnh $AB, AC$ thứu tự tại $M, N$ thế nào cho $AM=CN$.

*

Phân tích: trả sử vẫn dựng được mặt đường thẳng $d$ vừa lòng bài toán. Từ bỏ $M$ dựng đường thẳng song song với $AC$ giảm $BC$ tại $P$, khi ấy $MNCP$ là hình bình hành yêu cầu $CN=PM$. Ta lại sở hữu $AM=CN$ suy ra $MP=MA$, từ đó ta gồm $AP$ là phân giác vào của góc $A.$Cách dựng:+ Dựng phân giác trong $AP$ của góc $A.$+ Dựng mặt đường thẳng trải qua $P$ tuy nhiên song với $AC$ giảm $AB$ trên $M.$+ Dựng ảnh $N=T_overrightarrowPMleft( C ight)$.Đường trực tiếp $MN$ chính là đường trực tiếp thỏa yêu cầu bài toán.Chứng minh: Từ giải pháp dựng ta bao gồm $MNCP$ là hình bình hành, suy ra $MNparallel BC$ và $CN = PM$, ta có $widehat MAP m = widehat CAP = widehat APM$ $ Rightarrow Delta MAP$ cân tại $M$ $ Rightarrow AM = MP.$ Vậy $AM = CN.$Nhận xét: bài toán có một nghiệm hình.

Dạng toán 4. Thực hiện phép tịnh tiến để giải các bài toán tìm tập phù hợp điểmPhương pháp: Nếu $T_overrightarrowvleft( M ight)=M’$ cùng đểm $M$ di động trên hình $left( H ight)$ thì điểm $M’$ thuộc hình $left( H’ ight)$, trong những số đó $left( H’ ight)$ là hình ảnh của hình $left( H ight)$ qua $T_overrightarrowv$.

Ví dụ 9. Cho nhị điểm tách biệt $B,C$ cố định và thắt chặt trên con đường tròn $left( O ight)$tâm $O$. Điểm $A$ cầm tay trên $left( O ight)$. Chứng tỏ khi $A$ di động cầm tay trên $left( O ight)$ thì trực trung khu của tam giác $ABC$ cầm tay trên một con đường tròn.

*

Gọi $H$ là trực chổ chính giữa của tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm của $BC$. Tia $BO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$.Vì $widehatBCD=90^0$, đề nghị $DCparallel AH$. Giống như $ADparallel CH.$Do kia $ADCH$ là hình bình hành.Suy ra $overrightarrowAH=overrightarrowDC=2overrightarrowOM$ ko đổi.$Rightarrow T_2overrightarrowOMleft( A ight)=H$.Vì vậy lúc $A$ di động trên phố tròn $left( O ight)$ thì $H$ di động trên phố tròn $left( O’ ight)=T_2overrightarrowOMleft( left( O ight) ight)$.

Xem thêm: Viết Đoạn Văn Về Lợi Ích Của Việc Đọc Sách Bằng Tiếng Anh Hay Nhất

Ví dụ 10. Cho tam giác $ABC$ gồm đỉnh $A$ vậy định, $widehatBAC=alpha $ không đổi và $overrightarrowBC=overrightarrowv$ ko đổi. Kiếm tìm tập hợp những điểm $B,C$.

Gọi $O$ là trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC.$Khi kia theo định lí sin ta gồm $fracBCsin alpha =2R$ không đổi (do $overrightarrowBC=overrightarrowv$ không đổi).Vậy $OA = R = fracBC2sin alpha $, nên $O$ di động trên đường tròn tâm $A$ bán kính $AO = fracBC2sin alpha .$Ta có $OB = OC = R$ không thay đổi và $widehat BOC = 2alpha $ không đổi suy ra $widehat OBC = widehat OCB$ $ = frac180^0 – 2alpha 2$ không đổi.Mặt khác $overrightarrow BC $ có phương không thay đổi nên $overrightarrow OB ,overrightarrow OC $ cũng tất cả phương ko đổi.Đặt $overrightarrow OB = overrightarrow v_1 $, $overrightarrow OC = overrightarrow v_2 $ không đổi, thì $T_overrightarrow v_1 left( O ight) = B$, $T_overrightarrow v_2 left( O ight) = C.$Vậy tập hòa hợp điểm $B$ là đường tròn $left( A_1;fracBC2sin alpha ight)$ ảnh của $left( A,fracBC2sin alpha ight)$ qua $T_overrightarrow v_1 $ và tập vừa lòng điểm $C$ là con đường tròn $left( A_2;fracBC2sin alpha ight)$ ảnh của $left( A,fracBC2sin alpha ight)$ qua $T_overrightarrow v_2 .$