Bài viết phân dạng với hướng dẫn cách thức xác định tiết diện của hình đa diện lúc cắt do mặt phẳng với những ví dụ minh họa có giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Bài toán thiết diện

Dạng 1: tiết diện của hình đa diện với phương diện phẳng $left( alpha ight)$ biết $left( alpha ight)$ đi qua cha điểm khác nhau không trực tiếp hàng.Phương pháp:+ xác minh giao con đường của khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$ với từng phương diện của hình đa diện.+ Nối những đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện buộc phải tìm.

Ví dụ 1: đến tứ diện $ABCD$. điện thoại tư vấn $I$ cùng $J$ theo thứ tự là trung điểm của $BC$ và $BD$; $E$ là 1 trong điểm nằm trong cạnh $AD$ không giống với $A$ với $D$. Khẳng định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $left( IJE ight)$.

*

Ta có:$left( IJE ight) cap left( BCD ight) = IJ$ $left( 1 ight).$$left( IJE ight) cap left( ABD ight) = EJ$ $left( 2 ight).$Tìm $left( IJE ight) cap left( ACD ight)$:$E in left( IJE ight) cap left( ACD ight).$$IJ subset left( IJE ight)$, $CD subset left( ACD ight).$Vì $IJ$ là mặt đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $IJ//CD$ $ Rightarrow left( IJE ight) cap left( ACD ight) = Ex$ với $Ex$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $IJ$ và $CD.$Gọi $F = Ex cap AC.$Khi đó: $left( IJE ight) cap left( ACD ight) = EF$ $left( 3 ight).$Ta có: $left( IJE ight) cap left( ABC ight) = IF$ $left( 4 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight)$ suy ra thiết diện của hình tứ diện $ABCD$ lúc cắt bởi mặt phẳng $left( IJE ight)$ là hình thang $IJEF.$

Ví dụ 2: cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $CC’$. Dựng tiết diện của hình lăng trụ với phương diện phẳng $left( AMN ight).$

*

Ta có:$left( AMN ight) cap left( ABB’A’ ight) = AM$ $left( 1 ight).$$left( AMN ight) cap left( ACC’A’ ight) = AN$ $left( 2 ight).$Tìm $left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight):$$M in left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight).$Gọi $P = AN cap A’C’$ $ Rightarrow p in left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight).$Suy ra $left( AMN ight) cap left( A’B’C’ ight)$ $ = MP = MQ$ (với $Q = MP cap B’C’$) $left( 3 ight).$Khi đó: $left( AMN ight) cap left( BCC’B’ ight) = NQ$ $left( 4 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight)$ suy ra thiết diện là tứ giác $AMQN.$

Dạng 2: thiết diện của một hình đa diện với phương diện phẳng $left( alpha ight)$, biết $left( alpha ight)$ chứa $a$ và song song với mặt đường thẳng $b.$Phương pháp:+ Chọn mặt phẳng $left( eta ight) supset b.$+ Tìm một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight).$+ Tìm $M_x = left( alpha ight) cap left( eta ight)$, khi đó $M_xparallel aparallel b.$+ Xác định giao con đường của phương diện phẳng $left( alpha ight)$ với các mặt của hình đa diện.+ Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.

Ví dụ 3: cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ với $CD$. Call $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AD$ cùng $BC$. $G$ là giữa trung tâm của $Delta SAB$. Xác minh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $left( IJG ight)$.

*

Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ||AD||BC.$Vậy $left( IJG ight)$ là khía cạnh phẳng tất cả chứa một mặt đường thẳng tuy vậy song cùng với một đường thẳng mang lại trước $left( AB ight).$Chọn phương diện phẳng $left( SAB ight) supset AB.$$G$ là vấn đề chung của nhì mặt phẳng $left( SAB ight)$ và $left( IJG ight).$Ta có: $left{ eginarraylAB subset left( SAB ight)\IJ subset left( IJG ight)\G in left( SAB ight) cap left( IJG ight)\ABparallel IJendarray ight.$ $ Rightarrow left( SAB ight) cap left( IJG ight)$ $ = G_xleft( G_xparallel ABparallel IJ ight).$Giả sử $G_x$ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SB$ tại $N$, khi đó: $left( SAB ight) cap left( IJG ight) = MN$, $left( SAD ight) cap left( IJG ight) = MI$, $left( SBC ight) cap left( IJG ight) = NJ$, $left( ABCD ight) cap left( IJG ight) = IJ.$Vậy thiết diện buộc phải tìm là hình thang $MNIJ.$

Ví dụ 4: mang lại tứ diện $ABCD$. điện thoại tư vấn $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AC$ với $BC$. Hotline $K$ là 1 điểm bên trên cạnh $BD$. Xác định thiết diện của tứ diện với phương diện phẳng $left( IJK ight)$.

*

Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Nên suy ra $IJparallel AB.$Vậy $left( IJK ight)$ là khía cạnh phẳng cất một đường thẳng song song cùng với một mặt đường thẳng đến trước $left( AB ight).$Chọn phương diện phẳng $left( ABC ight) supset AB.$$left{ eginarraylK in BD\BD subset left( ABD ight)endarray ight.$ $ Rightarrow K in left( ABD ight)$, suy ra $K$ là điểm bình thường của nhì mặt phẳng $left( IJK ight)$ và $left( ABD ight).$Ta có: $left{ eginarraylAB subset left( ABD ight)\IJ subset left( IJK ight)\ABparallel IJ\K in left( ABD ight) cap left( IJK ight)endarray ight.$ $ Rightarrow left( ABD ight) cap left( IJK ight) = K_x$ $left( K_xparallel ABparallel IJ ight).$Giả sử $K_x$ cắt $AD$ tại $H$, lúc đó: $left( ABD ight) cap left( IJK ight) = KH$, $left( CAD ight) cap left( IJK ight) = IH$, $left( CDB ight) cap left( IJK ight) = JK$, $left( CAB ight) cap left( IJK ight) = IJ.$Vậy thiết diện buộc phải tìm là hình thang $IJKH.$

Dạng 3: thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $left( alpha ight)$, biết mặt phẳng $left( alpha ight)$ qua $M$ và tuy vậy song với hai đường thẳng $a$ và $b.$Phương pháp:+ Qua $left( alpha ight)$ kẻ hai tuyến đường thẳng $left( alpha ight)$lần lượt tuy vậy song với hai tuyến đường thẳng $left( alpha ight)$+ tìm điểm thông thường của $left( alpha ight)$với một khía cạnh nào kia của hình nhiều diện+ phương diện phẳng nào đựng điểm chung và đựng đường thẳng $left( alpha ight)$hoặc $left( alpha ight)$thì liên tục kẻ đường thẳng qua điểm chung và tuy vậy song với đường thẳng $left( alpha ight)$hoặc $left( alpha ight)$cho đến khi thiết diện được hình thành.

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hotline $O$ là giao điểm của nhì đường chéo cánh hình bình hành. Một mặt phẳng $left( alpha ight)$ qua $O$, tuy vậy song với $SA,CD$. Tìm thiết diện tạo bởi vì $left( alpha ight)$ và hình chóp.

*

Tìm $left( alpha ight) cap left( ABCD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylO in left( alpha ight) cap left( ABCD ight)\CDparallel left( alpha ight)\left( ABCD ight) supset CDendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( ABCD ight) = MN$ $left( 1 ight)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $O$ và tuy nhiên song với $CD$, $left( M in BC,N in AD ight).$Tìm $left( alpha ight) cap left( SAD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylN in left( alpha ight) cap left( SAD ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAD ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SAD ight) = NP$ $left( 2 ight)$ với $NPparallel SA$ $left( P in SD ight).$Tìm $left( alpha ight) cap left( SCD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylP in left( alpha ight) cap left( SCD ight)\CDparallel left( alpha ight)\left( SCD ight) supset CDendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SCD ight) = MQ$ $left( 3 ight)$ với $PQparallel CD$ $left( Q in SC ight).$Ta có: $left( alpha ight) cap left( SBC ight) = MQ$ $left( 4 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight)$ suy ra thiết diện bắt buộc tìm là tứ giác $MNPQ.$Ta lại có: $MNparallel CDparallel QP.$ Vậy thiết diện phải tìm là hình thang $MNPQ.$

Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang cân bao gồm $AD$ không tuy vậy song với $BC$. điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm của $AD$ và $left( alpha ight)$ là khía cạnh phẳng qua $M$, tuy vậy song với $SA,BD$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt do mặt phẳng $left( alpha ight).$

*

Tìm $left( alpha ight) cap left( ABCD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylM in left( alpha ight) cap left( ABCD ight)\BDparallel left( alpha ight)\left( ABCD ight) supset BDendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( ABCD ight) = MN$ $left( 1 ight)$ với $MNparallel BD$ $left( N in AB ight)$ ($N$ là trung điểm của $AB$).Tìm $left( alpha ight) cap left( SAD ight)$:Ta có: $left{ eginarraylM in left( alpha ight) cap left( SAD ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAD ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SAD ight) = MR$ $left( 2 ight)$ với $MRparallel SA$ $left( R in SD ight)$ ($R$ là trung điểm của $SD$).Tìm $left( alpha ight) cap left( SAB ight)$:Ta có: $left{ eginarraylN in left( alpha ight) cap left( SAB ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAB ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SCD ight) = NP$ $left( 3 ight)$ với $NPparallel SA$ $left( P in SB ight)$ ($P$ là trung điểm của $SB$).Tìm $left( alpha ight) cap SC$:Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ với $AC.$Chọn mặt phẳng phụ $left( SAC ight) supset SC.$Tìm $left( alpha ight) cap left( SAC ight)$:Ta có: $left{ eginarraylI in left( alpha ight) cap left( SAC ight)\SAparallel left( alpha ight)\left( SAC ight) supset SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight) cap left( SAC ight) = IQ$ với $IQparallel SA$ $left( Q in SC ight).$Suy ra $left( alpha ight) cap SC = Q.$Do đó ta có:$left( alpha ight) cap left( SCD ight) = RQ$ $left( 4 ight).$$left( alpha ight) cap left( SCB ight) = PQ$ $left( 5 ight).$Từ $left( 1 ight),left( 2 ight),left( 3 ight),left( 4 ight),left( 5 ight)$ suy ra thiết diện đề xuất tìm là ngũ giác $MNPQR.$Dạng 4: thiết diện của hình đa diện với khía cạnh phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ đi sang 1 điểm đến trước và tuy vậy song với khía cạnh phẳng $(eta ).$Phương pháp:+ lựa chọn mặt phẳng $(gamma )$ chứa điểm thuộc phương diện phẳng $(alpha )$ làm sao để cho giao tuyến của $(eta )$ với $(gamma )$ là dễ tìm.+ xác định giao con đường $d=(eta )cap left( gamma ight).$+ tóm lại giao con đường của $(alpha )$ và $(gamma )$ là mặt đường thẳng qua điểm trực thuộc $(alpha )$ và tuy vậy song $d.$+ tiếp tục làm quá trình này cho tới khi thiết diện được hình thành.

Ví dụ 7: đến tứ diện $ABCD$. Hotline $E$ là một trong điểm vị trí cạnh $AB.$ khẳng định thiết diện của tứ diện cắt vày mặt phẳng $(alpha )$ với $(alpha )$ là phương diện phẳng qua $E$ cùng $(alpha )parallel (BCD).$

*

Tìm $(alpha ) cap (ABC)$:Ta có: $left{ eginarrayl(ABC) cap (BCD) = BC\(alpha )parallel (BCD)\E in (alpha ) cap (ABC)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABC) = EF$ $(1)$, cùng với $EF$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song cùng với $BC.$Tìm $(alpha ) cap (ABD)$:Ta có: $left{ eginarrayl(ABD) cap (BCD) = BD\(alpha )parallel (BCD)\E in (alpha ) cap (ABD)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABD) = EG$ $(2)$, cùng với $EG$ là đoạn trực tiếp qua $E$ và tuy nhiên song $BD.$Nối đoạn $FG$ ta có: $(alpha ) cap (ACD) = FG$ $(3).$Từ $(1),(2),(3)$ suy ra thiết diện phải tìm là tam giác $EFG.$

Ví dụ 8: mang lại hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình thang cạnh lòng $AD$, $ADTa có: $left{ eginarrayl(ABCD) cap (SAD) = AD\(alpha )parallel (SAD)\M in (alpha ) cap (ABCD)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (ABCD) = MN$ $(1)$, cùng với $MN$ là đoạn thẳng qua $M$ tuy nhiên song $AD.$Tìm $(alpha ) cap (SAB)$:Ta có: $left{ eginarrayl(SAB) cap (SAD) = SA\(alpha )parallel (SAD)\M in (alpha ) cap (SAB)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SAB) = MK$ $(2)$, với $MK$ là đoạn thẳng qua $M$ tuy nhiên song $SA.$Tìm $(alpha ) cap (SCD)$:Ta có: $left{ eginarrayl(SCD) cap (SAD) = SD\(alpha )parallel (SAD)\N in (alpha ) cap (SCD)endarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SCD) = NP$ $(3)$, cùng với $NP$ là đoạn trực tiếp qua $N$ song song $SD.$Nối đoạn $KP$ ta có: $(alpha ) cap (SBC) = KP$ $(4).$Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra thiết diện nên tìm là tứ giác $MNPK.$

Dạng 5: tiết diện của hình nhiều diện với phương diện phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ qua một điểm đến trước cùng vuông góc với một con đường thẳng mang đến trước.Phương pháp: Để kiếm tìm thiết diện của khối nhiều diện $S$ với mặt phẳng $left( alpha ight)$, biết $left( alpha ight)$ trải qua điểm $M$ đến trước cùng vuông góc với mặt đường thẳng $d$ mang lại trước, làm như sau:+ Tìm hai tuyến phố thẳng giảm nhau hay chéo cánh nhau $a,b$ cùng vuông góc với $d$.+ xác định mặt phẳng $left( alpha ight)$ theo một trong các bốn trường hợp:$(I)$: $left{ eginarray*20ca subset left( alpha ight)\b subset left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$$(II)$: $left{ eginarray*20ca//left( alpha ight)\b//left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$$(III)$: $left{ eginarray*20ca subset left( alpha ight)\b//left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$$(IV)$: $left{ eginarray*20ca//left( alpha ight)\b subset left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$

Ví dụ 9: đến hình tứ diện $SABC$ tất cả $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC ight)$. Hotline $E$ là trung điểm của $AC$, $M$ là một trong điểm ở trong $AE$. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ cùng mặt phẳng $left( alpha ight)$, biết $left( alpha ight)$ là phương diện phẳng qua điểm $M$ và vuông góc với $AC$.

*

Tìm hai tuyến đường thẳng không tuy nhiên song cùng vuông góc với $AC.$Ta có: $left{ eginarray*20cSA ot left( ABC ight)\AC subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow SA ot AC.$Xét tam giác phần nhiều $ABC$, ta tất cả $E$ là trung điểm của $AC$ bắt buộc $BE$ sẽ vuông góc với $AC$.Vậy ta có hai tuyến phố thẳng $SA$ với $BE$ là hai tuyến đường thẳng không tuy vậy song thuộc vuông góc với $AC$.Xác định khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$:Do $left( alpha ight)$ qua $M$ và $M otin SA$, $M otin BE$ phải $left( alpha ight)$ đã được xác minh theo cách: $left{ eginarray*20cleft( alpha ight)\BE\M in left( alpha ight)endarray ight.$Khi đó:Trong $left( ABC ight)$ dựng $Mx||BE$ cắt $AB$ trên $N$ (ta được $MNot AC$).Trong $left( SAC ight)$ dựng $My||SA$ cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MPot AC$).Trong $left( SAB ight)$ dựng $Nz||SA$ giảm $SB$ trên $Q$ (ta được $NQot AC$).Xác định thiết của $left( alpha ight)$ cùng với tứ diện $SABC$:Ta có:$left( SAB ight)cap left( alpha ight)=NQ.$$left( SAC ight)cap left( alpha ight)=NP.$$left( SBC ight)cap left( alpha ight)=PQ.$$left( ABC ight)cap left( alpha ight)=MN.$Vậy thiết diện buộc phải tìm là hình thang vuông $MNPQ$.

Ví dụ 10: mang đến hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC ight)$. đem một điểm $M$ bất kỳ trên cạnh $SC$, điện thoại tư vấn $left( alpha ight)$ là mặt phẳng qua $M$ cùng vuông góc với $AB$. Hãy xác minh thiết diện tạo vì tứ diện $SABC$ cùng mặt phẳng $left( alpha ight)$.

*

Tìm hai đường thẳng không song song thuộc vuông góc với $AB.$Ta có: $left{ eginarray*20cSA ot left( ABC ight)\AB subset left( ABC ight)endarray ight.$ $ Rightarrow SA ot AB.$Xét tam giác đầy đủ $ABC$, ta tất cả $I$ là trung điểm của $AB$nên $CI$ đang vuông góc với $AB$.Vậy ta có hai tuyến đường thẳng $SA$ cùng $CI$ là hai tuyến đường thẳng không tuy vậy song thuộc vuông góc với $AB$.Xác định khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$:Do $left( alpha ight)$ qua $M$và $M otin SA$, $M otin CI$ nên $left( alpha ight)$ sẽ được xác định theo cách: $left{ eginarray*20cSA//left( alpha ight)\CI//left( alpha ight)\M in left( alpha ight)endarray ight.$Khi đó:Trong $left( SAC ight)$ dựng $Mx//SA$ cắt $AC$ tại $N$ (ta được $MNot AB$).Trong $left( ABC ight)$ dựng $Ny//CI$ cắt $AB$ tại $P$ (ta được $NPot AB$).Trong $left( SAB ight)$ dựng $Pz//SA$ giảm $SB$ trên $Q$ (ta được $PQot AB$).Xác định thiết của $left( alpha ight)$ cùng với tứ diện $SABC$:Ta có:$left( SAB ight)cap left( alpha ight)=PQ.$$left( SAC ight)cap left( alpha ight)=MN.$$left( SBC ight)cap left( alpha ight)=QM.$$left( ABC ight)cap left( alpha ight)=NP.$Vậy thiết diện yêu cầu tìm là hình thang vuông $MNPQ$.

Dạng 6: tiết diện của hình đa diện với phương diện phẳng $left( alpha ight)$ biết $left( alpha ight)$ cất đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $left( eta ight)$.Phương pháp:+ xuất phát từ 1 điểm $Min d$ ta dựng mặt đường thẳng $a$ qua $M$ và vuông góc với $(eta )$. Lúc đó: $left( alpha ight)=left( d,a ight).$+ tìm kiếm giao tuyến của $left( alpha ight)$ với các mặt của hình nhiều diện.

Ví dụ 11: cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông trên $B$, $SAot left( ABC ight)$. Hotline $E$ là trung điểm cạnh $SC$, $M$ là 1 trong điểm bên trên cạnh $AB$. Hotline $left( alpha ight)$ là mặt phẳng chứa $EM$ và vuông góc cùng với $left( SAB ight)$. Xác định thiết diện của $left( alpha ight)$ và tứ diện.

*

Ta có: $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot mSAendarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight).$Ta lại có: $left eginarraylleft( alpha ight) ot left( SAB ight)\BC ot left( mSAB ight)endarray ight.$ $ Rightarrow left( alpha ight)parallel BC.$Kẻ $MNparallel BC$, $ mEFparallel BC.$Nối $MF, NE$ ta được thiết diện phải tìm là hình thang $MNEF.$

Ví dụ 12: mang lại hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình chữ nhật, $SAot (ABCD)$. Hotline $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $left( p ight)$ là phương diện phẳng qua $I$ với vuông góc với khía cạnh $left( SBC ight)$. Search thiết diện của hình chóp với khía cạnh phẳng $left( phường ight)$.

*

Ta có: $left. eginarraylIJ ot AB\IJ ot SAendarray ight$ $ Rightarrow IJ ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow IJ ot SB.$Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc cùng với $SB$ tại $K.$Do đó $left( phường ight) equiv left( KIJ ight).$Ta có:$left( p. ight) cap left( SAB ight) = KI.$$left( p. ight) cap left( ABCD ight) = IJ.$$left( p. ight) supset IJparallel BC$ $ Rightarrow left( phường ight) cap left( SBC ight) = KNparallel BC.$$left( p ight) cap left( SCD ight) = NI.$Vậy tiết diện là hình thang $KNIJ.$

Dạng 7: tiết diện của hình đa diện với khía cạnh phẳng $(alpha )$ biết $(alpha )$ chứa đường trực tiếp $d$ và sản xuất với phương diện phẳng $(eta )$ một góc $varphi .$Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, tính chất giao điểm với trung tuyến đường … trường đoản cú đó xác minh các đoạn giao đường và kiếm được thiết diện.

Ví dụ 13: mang lại hình chóp tứ giác đầy đủ $S.ABCD$ gồm đáy là hình vuông cạnh $a$. Khía cạnh bên hợp với đáy một góc $60^0$. Mang đến $left( p ight)$ là phương diện phẳng qua $CD$ cùng vuông góc cùng với $left( SAB ight)$, $left( p ight)$ giảm $SA,SB$ theo thứ tự tại $M,N$. $left( p ight)$ giảm hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính thiết diện theo $a$.

*

Gọi $K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$Khi đó $KI$ đi qua tâm $O$ của hình vuông $ABCD.$Ta có: $left{ eginarraylSK ot AB\OK ot ABendarray ight.$ $ Rightarrow widehat SKO = 60^0$ (Vì $widehat SKO$ là góc giữa mặt mặt và dưới mặt đáy hình chóp).Suy ra $Delta SKI$ là tam giác đều.Hạ mặt đường cao $IE$ của $Delta SIK.$Ta có: $left{ eginarraylIE ot SK\IE ot ABendarray ight.$ $ Rightarrow IE ot left( SAB ight).$Do kia mặt phẳng $left( p. ight)$ qua $CD$ cùng vuông góc $left( SAB ight)$ là khía cạnh phẳng $left( CDE ight)$.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác $CDMN.$Ta có: $left{ eginarraylMNparallel AB\CDparallel ABendarray ight.$ $ Rightarrow MNparallel CD.$Mặt khác $MN$ là mặt đường trung bình của $Delta SAB$, do đó $DM = CN.$Vậy tiết diện $CDMN$ là hình thang cân.Ta có: $MN = fraca2$, $IE = fracasqrt 3 2.$Vậy diện tích s thiết diện là $S_CDMN = fracleft( CD + MN ight).IE2$ $ = frac3a^2sqrt 3 8.$

Ví dụ 14: cho hình chóp tứ giác những $S.ABCD$ gồm đáy là hình vuông vắn $ABCD$ cạnh $a$. Mặt bên tạo với đáy một góc $60^0.$ khía cạnh phẳng $(alpha )$ qua $AB$ cắt $SC,SD$ theo thứ tự tại $M,N$. Cho biết thêm góc tạo vị mặt phẳng $(alpha )$ với mặt dưới là $30^0.$ Hãy khẳng định thiết diện tạo vì chưng mặt phẳng $(alpha )$ cùng hình chóp.

Xem thêm: Dự Thảo Bảng Lương Theo Vị Trí Việc Làm Năm 2021 Theo Vị Trí Việc Làm

*

Ta có: $left{ eginarraylM in (alpha ) cap (SCD)\CDparallel AB\(SCD) supset CD,(alpha ) supset ABendarray ight.$ $ Rightarrow (alpha ) cap (SCD) = MN$ $(MNparallel AB).$Ta có: $(SAB) cap (alpha ) = AB$, $(SAD) cap (alpha ) = AN$, $(SCD) cap (alpha ) = MN$, $(SBC) cap (alpha ) = MB.$Vậy thiết diện buộc phải tìm là hình thang $ABMN.$Mặc khác $Delta AND=Delta BMC$ $Rightarrow AN=BM.$Vậy $ABMN$ là hình thang cân.