Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng tỏ và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm công thức gì, hệ trái gì cùng cách minh chứng từng hệ quả ra làm sao cùng các dạng việc thường găp là mọi phần kỹ năng và kiến thức quan trọng, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ câu trả lời qua nội dung bài viết sau đây. Bạn tò mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI




Bạn đang xem: Bất đẳng thức bunyakovsky

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bạn sẽ xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài bác tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi và đúng là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do tía nhà toán học chủ quyền phát hiện với đề xuất, nó có rất nhiều ứng dụng vào các nghành toán học. Ở nước ta, để cho tương xứng với lịch trình sách giáo khoa, trong tài liệu này bọn họ cũng sẽ hotline nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên đơn vị Toán học tín đồ Nga Bunhiacopxki.


2. Bí quyết của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki đến 2 bộ số:

Với hai bộ số 

*
 và 
*
 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*

Với quy mong nếu một vài nào kia (i = 1, 2, 3, …, n) bởi 0 thì tương ứng bằng 0

*
*

Thì:

  

*

Đạt được khi:

  

*

Hệ trái 2:Nếu:

  

*

Thì:


  

*


đạt được khi:

  

*




Xem thêm: Harry Potter Và Bảo Bối Tử Thần – Phần 1, Harry Potter Và Bảo Bối Tử Thần (Phần 1) Full

  

*


Dấu “=” sảy ra khi và chỉ còn khi:

  

*

3. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

*
*
*
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

*

*
 (điều buộc phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức 

*

Lời giải:

*

Điều kiện: 

*

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*

A max = 2 khi 

*
(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ còn khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p. Là nửa chu vi thì 

*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*
(điều cần chứng minh)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi 

*
 hay tam giác là tam giác đều

b. Bài luyện tập thêm

Bài 1: Tìm giá chỉ trị béo nhất của các biểu thức sau:

a, 

*

b, 

*

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

*

(gợi ý: chuyển đổi vế trái thành 

*
 rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là những số thực dương, . Minh chứng rằng:

*

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn nhu cầu abc = 1. Triệu chứng minh:

*

Bài 5: Cho x > 0 cùng y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + 

*