Bạn đang xem: Các bất đẳng thức phụ lớp 9
Bạn đã xem tư liệu "Tuyển tập các bất đẳng thức thường xuyên gặp", để sở hữu tài liệu nơi bắt đầu về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD ở trên
Xem thêm: Soạn Bài Tìm Hiểu Chung Về Văn Nghị Luận, Please Wait
TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP1) cho a>0, b>0. Minh chứng rằng Giải:Cách 1: Ta có: (Bất đẳng thức đúng bởi a, b > 0 đề xuất 2)Vậy giải pháp 2: (vì 22)2) chứng tỏ rằng: x2 + 3 + Giải:Áp dụng bắt đẳng thức cô- si mang đến hai số dương cùng ta có: 3) đến a>0, b>0. Minh chứng rằng:Giải: (BĐT đúng)Vậy 4) mang đến a + b 1. Chứng minh rằng a2 + b2 1Ta có: a + b 1 mà lại (a – b)2 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 15) mang lại a > b, b > c, c > 0. Chứng tỏ rằng: Giải:Ta có: còn mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki Vậy 6) mang đến a, b, c vừa lòng điều khiếu nại 0 và a+b+c=3. Minh chứng rằng: Giải:0 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)7) cho a,b,c là bố cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0Giải:Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác đề xuất theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c a2(b + c) > a2. A ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)8) cho a,b,c là tía cạnh của một tam giác gồm chu vi bởi 2. Minh chứng rằng a2 + b2 + c2 + 2abc 0(1 – b – a + ab)(1 - c) > 01 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 01 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0Nên abc 0, b>0. Chứng minh rằng: Giải: (BĐT đúng)Vậy 10) minh chứng rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + bGiải:Ta có: a2 + b2 2ab b2 + 1 2b a2 + 1 2a 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b)(a2 + b2 + 1) ab + a + b11) cho các số dương x,y,z 0 cùng x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)Giải:Vì x,y,z 0 với x + y + z = 1 x,y,z 1 và 1-x, 1-y, 1-z 0Áp dụng bất đẳng thức cô – si đến hai số ko âm ta có:(1-x)(1-z) 4(1-x)(1-z) (1+y)24(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y)4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y)4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+zVậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)12) chứng tỏ rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì Giải:Ta có: (vì a+b+c=1)Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:Vậy với các số dương a,b,c gồm tổng a+b+c=1 thì 13) chứng tỏ rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 0. Ta có tương tự ta có: vị đó: ++= ab(a-b)+. 020) mang đến a,b,c là tía số ko âm thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng tỏ rằng: a + b 16abcGiải:Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ko âm ta có:1 = (a + b +c)2 4a(b + c) cơ mà (b + c)2 4bc nênb + c 4a.4bc giỏi b + c 16abc21) mang lại x2 + 4y2 = 1. Chứng minh Hướng dẫn: Đặt x – y = A x = A + y rồi gắng vào biểu thức x2 + 4y2 = 1..dùng kỹ năng và kiến thức về phương trình bậc hai nhằm suy ra điều phải chứng minh22) mang đến a, b, c là chiều dài cha cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abcGiải:Ta có: a2 – (b – c2) a2 (a+b-c)(a-b+c) a2Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b2 (c+a-b)(c-a+b) c2<(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)>2 (abc)2(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc23) chứng tỏ bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 với tất cả x,y,zGiải: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 (BĐT đúng)Vậy 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)224) a) chứng minh (với a,b > 0)b) minh chứng rằng nếu như a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4Giải:a) Áp dụng bất đẳng thức côsi đến hai số dương ta có: 2Vậy b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)2<(a + + 0a4 + b4 a3b + ab32(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab32(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b)2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3)2(a4 + b4) 2( a3+ b3) bởi vì a + b 2 >0Vậy a3+b3 a4 + b425) a) mang đến a 0, b 0. Hội chứng minh: b) mang đến . Minh chứng rằng: Giải:a) (a + b)(9 + ab) 12abÁp dụng bất đẳng thức côsi mang đến hai số ko âm ta có:b) Ta có:a4 + b4 = 26) đến a+b+cabc. Chứng minh rằng a2+b2+c2abcGiải: bởi vì a+b+cabc nên tất cả hai trường thích hợp xảy ra- Trường thích hợp : Ta có: - ngôi trường hợp: trong ba số có tối thiểu một số nhỏ tuổi hơn 1Không mất tính tổng quát, giả sử Ta có: a2+b2+c2 a2+b227) đến x1, y1. Chứng minh Giải:28) chứng minh rằng với tất cả a,b Giải: trường hợp tổng a+b 0. Chứng minh : phía dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ;31) chứng minh rằng: Giải:Ta có:Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2Áp dụng (*) ta có: 32) cho a0, b0. Chứng minh rằng: Giải:Ta có: Áp dụng côsi mang đến hai số ko âm ta có:Vậy 33) mang đến xy =1, x>y. Chứng minh rằng Giải:Ta có: (theo BĐT côsi)34) chứng minh: Giải:Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b vết ‘=’ xảy ra khi a = bTrong vấn đề trên thì dấu ‘=’ không xẩy ra vì a bTa có: 35) Cho cha số dương a,b,c thỏa mãn nhu cầu điều kiện a2+b2+c2=5/3. Minh chứng rằng: Giải:Ta có: (a+b-c)2 0 a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc0 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2Mà a2+b2+c2=5/3 0)36) chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)Hướng dẫn: gửi vế mang lại hằng đẳng thức37) mang đến a,b,c,d > 0. Chứng tỏ rằng: Giải:(áp dụng bất đẳng thức phụ )38) cho a,b,c>0 vừa lòng a + b + c = 1. Chứng tỏ rằng: Giải: Áp dụng BĐT côsi đến hai số dương ta có:Tương tự:Vậy 39) a) bệnh minh: với đa số xb) chứng tỏ Giải:a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 (theo côsi mang lại hai số dương)dấu = ko thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi xVậy với tất cả xb) (BĐT đúng)Vậy 40) mang đến a2. Chứng tỏ rằng: Giải: (vì a2) vì chưng a2 bắt buộc 2a – 2 0 thì (BĐT đúng)Vậy ta có: 42) mang đến a>0, b>0 và a + b = 1.a) minh chứng rằng: b) chứng minh rằng: Giải:Áp dụng các bất đẳng thức phụ: ( HS tự chứng minh )a) Ta có: b) 43) đến a,b 0. Chứng tỏ a2b – 3ab + ab2 + 1 0. Lốt bằng xảy ra khi nào?Giải:Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z3Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3- 3ab = 3ab – 3ab = 0Dấu bằng xẩy ra khi a2b = ab2 = 1 a = b = 144) Cho bố số dương a,b,c . Chứng tỏ rằng: Giải:Áp dụng côsi mang lại hai số không âm ta có: = a + b + c45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn nhu cầu các điều kiện a2 + b2 = 2 với (a – d)(b – c) = 1. Minh chứng rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2Giải: Ta có: a2 + b2 = 2 cùng (a – d)(b – c) = 1Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 46) đến a + 4b = 3. Chứng minh rằng: a2 + 4b2 hướng dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b núm vào biểu thức cần chứng minh rồi dưa về dạng đánh giá A2+ 47) minh chứng rằng ví như x+y+z =1 thì x2+y2+z2Giải:x2+y2+z2 = 48) chứng minh rằng: 2( (với n là số nguyên dương)Giải:Ta có: mặt khác: Vậy 49) cho x,y0 cùng x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng Giải:Ta có: x2 + y2 = 1 x2 1 và y2 1 cơ mà x0, y00x1 với 0x1 x3x2 , y3y2 x3 + y3x2 + y2 = 1 (1) 1 = x2 + y2 = ((theo bunhiacopxki)Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = 4 x+y (2)Từ (1) cùng (2) ta có: 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn nhu cầu a + b +c = 12. Chứng tỏ rằng:Giải:Áp dụng côsi mang lại hai số không âm ta có:Tương tự: 51) a) chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 b)Gọi m là số nhỏ dại nhất trong tía số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 minh chứng rằng: Giải:a) HS trường đoản cú giảib) sứ mệnh x,y,z như nhau, giả sử xyz.Vì m là số nhỏ dại nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 là số nhỏ tuổi nhất trong ba số (x-y)2 m, (y-z)2mMặt khác: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m m52) mang đến a,b là những số dương. Chứng minh: hướng dẫn: Bình phương nhị vế53) minh chứng rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với tất cả a,bHD: chuyển vế biến hóa tương đương54) chứng minh rằng với mọi x,y khác 0 ta tất cả đẳng thức: HD: quy đồng, khử mẫu, chuyển đổi tương đương55) chứng minh 1998 0, b>0. Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2HD: chuyển đổi tương đương58) với a>0, b>0, c>0. Chứng tỏ các BĐT:a) Giải:a) Áp dụng côsi cho hai số dương ở vế tráib) Áp dụng côsi cho hai số dương từng cặp tương tự câu ac) chứng tỏ bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra vấn đề cần chứng minh59) mang đến a,b,c thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại a2 + b2 + c2 = 3. Minh chứng rằng: ab+bc+ca+a+b+c6Giải:Ta có: x2 + y2 2xy tuyệt xy với mọi x,y (do a2 + b2 + c2 = 3 ) Vậy ab+bc+ca+a+b+c660) cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: Giải:Ta có: phương diện khác:61) đến a,b,c là độ dài cha cạnh của một tam giác và p. Là nửa chu vi của tam giác. Hội chứng minh: (p – a)(p – b)(p –c) Giải:Ta có: phường – a = (vì b + c >a – BĐT tam giác))Tương tự: p – b>0, phường –c>0Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:(p – a)(p – b) Tương tự: (p – b)(p –c); (p – c)(p – a) 62) đến a,b,c >0. Minh chứng rằng: Giải:Ta có:63) Cho tía số dương a,b,c. Minh chứng rằng:Giải:Ta có: 1 + a2 2a Tương tự: triệu chứng minh: dung biến đổi tương đương64) chứng minh: HD: Ta có: Áp dụng vấn đề trên suy ra BĐT65) Cho ba số dương x,y,z bao gồm tổng bằng 1. Chứng minh rằng:Giải:Áp dụng bất đẳng thức côsi đến hai số dương ta có:Tương tự: 66) đến x,y>0 cùng x+y = 1. Triệu chứng minh: 8(x4+y4)+Giải:Ta có: (x+y)2 4xy khía cạnh khác: (HS tự triệu chứng minh)Suy ra: 8(x4+y4)+67) cho các số dương a,b,c bao gồm tổng bằng 1. Chứng minh: Giải:Áp dụng côsi đến hai số dương ta có:68) cho a+b+c = 3. Bệnh minh: a4+b4+c4 a3+b3+c3Giải:Áp dụng câu hỏi phụ x4+y4x3y+xy3 ta có:3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3)Vậy a4+b4+c4 a3+b3+c369) cho những số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = 1. Bệnh minh:Giải:Vì x,y,z>0 với x3+y3+z3 = 1 cần 1-x,1-y,1-z >0Áp dụng côsi mang đến hai số dương ta có:Tương tự: Vậy 70) đến a,b>0. Bệnh minh: Giải:Ta có: 71) chứng minh: cùng với a>b>0HD: bình phương nhị vế rồi dung phương pháp đổi khác tương đương72) cho x,y không âm thỏa mãn nhu cầu x2+y2=1. Triệu chứng minh: Giải:Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 với (x+y)2 = x2+y2+2xy = 1 + 2xy 1Vậy 73) mang đến a,b,c là những số thực vừa lòng a+b+c = 0. Chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0Giải: a+b+c = 074) cho a,b,c > 1. Chứng minh : Giải:Áp dụng côsi đến hai số dương ta có:Tương tự: Vậy 75) cho x,y là nhì số thực làm thế nào để cho x+y=2. Chứng minh xy(x2+y2)2Giải: