Bạn đang xem: Các bất đẳng thức phụ lớp 9

*
16 trang
*
minhquan88
*
*
5006
*
2Download
Bạn đã xem tư liệu "Tuyển tập các bất đẳng thức thường xuyên gặp", để sở hữu tài liệu nơi bắt đầu về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD ở trên


Xem thêm: Soạn Bài Tìm Hiểu Chung Về Văn Nghị Luận, Please Wait

TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP1) cho a>0, b>0. Minh chứng rằng Giải:Cách 1: Ta có: (Bất đẳng thức đúng bởi a, b > 0 đề xuất 2)Vậy giải pháp 2: (vì 22)2) chứng tỏ rằng: x2 + 3 + Giải:Áp dụng bắt đẳng thức cô- si mang đến hai số dương cùng ta có: 3) đến a>0, b>0. Minh chứng rằng:Giải: (BĐT đúng)Vậy 4) mang đến a + b 1. Chứng minh rằng a2 + b2 1Ta có: a + b 1 mà lại (a – b)2 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 15) mang lại a > b, b > c, c > 0. Chứng tỏ rằng: Giải:Ta có: còn mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki Vậy 6) mang đến a, b, c vừa lòng điều khiếu nại 0 và a+b+c=3. Minh chứng rằng: Giải:0 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca)7) cho a,b,c là bố cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0Giải:Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác đề xuất theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c a2(b + c) > a2. A ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm)8) cho a,b,c là tía cạnh của một tam giác gồm chu vi bởi 2. Minh chứng rằng a2 + b2 + c2 + 2abc 0(1 – b – a + ab)(1 - c) > 01 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 01 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0Nên abc 0, b>0. Chứng minh rằng: Giải: (BĐT đúng)Vậy 10) minh chứng rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + bGiải:Ta có: a2 + b2 2ab b2 + 1 2b a2 + 1 2a 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b)(a2 + b2 + 1) ab + a + b11) cho các số dương x,y,z 0 cùng x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)Giải:Vì x,y,z 0 với x + y + z = 1 x,y,z 1 và 1-x, 1-y, 1-z 0Áp dụng bất đẳng thức cô – si đến hai số ko âm ta có:(1-x)(1-z) 4(1-x)(1-z) (1+y)24(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y)4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y)4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+zVậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z)12) chứng tỏ rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì Giải:Ta có: (vì a+b+c=1)Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:Vậy với các số dương a,b,c gồm tổng a+b+c=1 thì 13) chứng tỏ rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 0. Ta có tương tự ta có: vị đó: ++= ab(a-b)+. 020) mang đến a,b,c là tía số ko âm thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng tỏ rằng: a + b 16abcGiải:Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ko âm ta có:1 = (a + b +c)2 4a(b + c) cơ mà (b + c)2 4bc nênb + c 4a.4bc giỏi b + c 16abc21) mang lại x2 + 4y2 = 1. Chứng minh Hướng dẫn: Đặt x – y = A x = A + y rồi gắng vào biểu thức x2 + 4y2 = 1..dùng kỹ năng và kiến thức về phương trình bậc hai nhằm suy ra điều phải chứng minh22) mang đến a, b, c là chiều dài cha cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abcGiải:Ta có: a2 – (b – c2) a2 (a+b-c)(a-b+c) a2Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b2 (c+a-b)(c-a+b) c2<(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)>2 (abc)2(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc23) chứng tỏ bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 với tất cả x,y,zGiải: 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 (BĐT đúng)Vậy 3(x2 + y2 + z2 )(x+y+z)224) a) chứng minh (với a,b > 0)b) minh chứng rằng nếu như a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4Giải:a) Áp dụng bất đẳng thức côsi đến hai số dương ta có: 2Vậy b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)2<(a + + 0a4 + b4 a3b + ab32(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab32(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b)2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3)2(a4 + b4) 2( a3+ b3) bởi vì a + b 2 >0Vậy a3+b3 a4 + b425) a) mang đến a 0, b 0. Hội chứng minh: b) mang đến . Minh chứng rằng: Giải:a) (a + b)(9 + ab) 12abÁp dụng bất đẳng thức côsi mang đến hai số ko âm ta có:b) Ta có:a4 + b4 = 26) đến a+b+cabc. Chứng minh rằng a2+b2+c2abcGiải: bởi vì a+b+cabc nên tất cả hai trường thích hợp xảy ra- Trường thích hợp : Ta có: - ngôi trường hợp: trong ba số có tối thiểu một số nhỏ tuổi hơn 1Không mất tính tổng quát, giả sử Ta có: a2+b2+c2 a2+b227) đến x1, y1. Chứng minh Giải:28) chứng minh rằng với tất cả a,b Giải: trường hợp tổng a+b 0. Chứng minh : phía dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ;31) chứng minh rằng: Giải:Ta có:Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2Áp dụng (*) ta có: 32) cho a0, b0. Chứng minh rằng: Giải:Ta có: Áp dụng côsi mang đến hai số ko âm ta có:Vậy 33) mang đến xy =1, x>y. Chứng minh rằng Giải:Ta có: (theo BĐT côsi)34) chứng minh: Giải:Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b vết ‘=’ xảy ra khi a = bTrong vấn đề trên thì dấu ‘=’ không xẩy ra vì a bTa có: 35) Cho cha số dương a,b,c thỏa mãn nhu cầu điều kiện a2+b2+c2=5/3. Minh chứng rằng: Giải:Ta có: (a+b-c)2 0 a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc0 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2Mà a2+b2+c2=5/3 0)36) chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)Hướng dẫn: gửi vế mang lại hằng đẳng thức37) mang đến a,b,c,d > 0. Chứng tỏ rằng: Giải:(áp dụng bất đẳng thức phụ )38) cho a,b,c>0 vừa lòng a + b + c = 1. Chứng tỏ rằng: Giải: Áp dụng BĐT côsi đến hai số dương ta có:Tương tự:Vậy 39) a) bệnh minh: với đa số xb) chứng tỏ Giải:a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 (theo côsi mang lại hai số dương)dấu = ko thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi xVậy với tất cả xb) (BĐT đúng)Vậy 40) mang đến a2. Chứng tỏ rằng: Giải: (vì a2) vì chưng a2 bắt buộc 2a – 2 0 thì (BĐT đúng)Vậy ta có: 42) mang đến a>0, b>0 và a + b = 1.a) minh chứng rằng: b) chứng minh rằng: Giải:Áp dụng các bất đẳng thức phụ: ( HS tự chứng minh )a) Ta có: b) 43) đến a,b 0. Chứng tỏ a2b – 3ab + ab2 + 1 0. Lốt bằng xảy ra khi nào?Giải:Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z3Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3- 3ab = 3ab – 3ab = 0Dấu bằng xẩy ra khi a2b = ab2 = 1 a = b = 144) Cho bố số dương a,b,c . Chứng tỏ rằng: Giải:Áp dụng côsi mang lại hai số không âm ta có: = a + b + c45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn nhu cầu các điều kiện a2 + b2 = 2 với (a – d)(b – c) = 1. Minh chứng rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2Giải: Ta có: a2 + b2 = 2 cùng (a – d)(b – c) = 1Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 46) đến a + 4b = 3. Chứng minh rằng: a2 + 4b2 hướng dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b núm vào biểu thức cần chứng minh rồi dưa về dạng đánh giá A2+ 47) minh chứng rằng ví như x+y+z =1 thì x2+y2+z2Giải:x2+y2+z2 = 48) chứng minh rằng: 2( (với n là số nguyên dương)Giải:Ta có: mặt khác: Vậy 49) cho x,y0 cùng x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng Giải:Ta có: x2 + y2 = 1 x2 1 và y2 1 cơ mà x0, y00x1 với 0x1 x3x2 , y3y2 x3 + y3x2 + y2 = 1 (1) 1 = x2 + y2 = ((theo bunhiacopxki)Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = 4 x+y (2)Từ (1) cùng (2) ta có: 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn nhu cầu a + b +c = 12. Chứng tỏ rằng:Giải:Áp dụng côsi mang lại hai số không âm ta có:Tương tự: 51) a) chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 b)Gọi m là số nhỏ dại nhất trong tía số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 minh chứng rằng: Giải:a) HS trường đoản cú giảib) sứ mệnh x,y,z như nhau, giả sử xyz.Vì m là số nhỏ dại nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 là số nhỏ tuổi nhất trong ba số (x-y)2 m, (y-z)2mMặt khác: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m m52) mang đến a,b là những số dương. Chứng minh: hướng dẫn: Bình phương nhị vế53) minh chứng rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với tất cả a,bHD: chuyển vế biến hóa tương đương54) chứng minh rằng với mọi x,y khác 0 ta tất cả đẳng thức: HD: quy đồng, khử mẫu, chuyển đổi tương đương55) chứng minh 1998 0, b>0. Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2HD: chuyển đổi tương đương58) với a>0, b>0, c>0. Chứng tỏ các BĐT:a) Giải:a) Áp dụng côsi cho hai số dương ở vế tráib) Áp dụng côsi cho hai số dương từng cặp tương tự câu ac) chứng tỏ bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra vấn đề cần chứng minh59) mang đến a,b,c thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại a2 + b2 + c2 = 3. Minh chứng rằng: ab+bc+ca+a+b+c6Giải:Ta có: x2 + y2 2xy tuyệt xy với mọi x,y (do a2 + b2 + c2 = 3 ) Vậy ab+bc+ca+a+b+c660) cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: Giải:Ta có: phương diện khác:61) đến a,b,c là độ dài cha cạnh của một tam giác và p. Là nửa chu vi của tam giác. Hội chứng minh: (p – a)(p – b)(p –c) Giải:Ta có: phường – a = (vì b + c >a – BĐT tam giác))Tương tự: p – b>0, phường –c>0Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:(p – a)(p – b) Tương tự: (p – b)(p –c); (p – c)(p – a) 62) đến a,b,c >0. Minh chứng rằng: Giải:Ta có:63) Cho tía số dương a,b,c. Minh chứng rằng:Giải:Ta có: 1 + a2 2a Tương tự: triệu chứng minh: dung biến đổi tương đương64) chứng minh: HD: Ta có: Áp dụng vấn đề trên suy ra BĐT65) Cho ba số dương x,y,z bao gồm tổng bằng 1. Chứng minh rằng:Giải:Áp dụng bất đẳng thức côsi đến hai số dương ta có:Tương tự: 66) đến x,y>0 cùng x+y = 1. Triệu chứng minh: 8(x4+y4)+Giải:Ta có: (x+y)2 4xy khía cạnh khác: (HS tự triệu chứng minh)Suy ra: 8(x4+y4)+67) cho các số dương a,b,c bao gồm tổng bằng 1. Chứng minh: Giải:Áp dụng côsi đến hai số dương ta có:68) cho a+b+c = 3. Bệnh minh: a4+b4+c4 a3+b3+c3Giải:Áp dụng câu hỏi phụ x4+y4x3y+xy3 ta có:3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3)Vậy a4+b4+c4 a3+b3+c369) cho những số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = 1. Bệnh minh:Giải:Vì x,y,z>0 với x3+y3+z3 = 1 cần 1-x,1-y,1-z >0Áp dụng côsi mang đến hai số dương ta có:Tương tự: Vậy 70) đến a,b>0. Bệnh minh: Giải:Ta có: 71) chứng minh: cùng với a>b>0HD: bình phương nhị vế rồi dung phương pháp đổi khác tương đương72) cho x,y không âm thỏa mãn nhu cầu x2+y2=1. Triệu chứng minh: Giải:Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 với (x+y)2 = x2+y2+2xy = 1 + 2xy 1Vậy 73) mang đến a,b,c là những số thực vừa lòng a+b+c = 0. Chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0Giải: a+b+c = 074) cho a,b,c > 1. Chứng minh : Giải:Áp dụng côsi đến hai số dương ta có:Tương tự: Vậy 75) cho x,y là nhì số thực làm thế nào để cho x+y=2. Chứng minh xy(x2+y2)2Giải: