MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình số 1 đối với cùng 1 hàm số lượng giác

A. Phương pháp


*
trong đó
*
là những hằng số
*
*
là một hàm con số giác.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

Cách giải:Chuyển vế rồi phân tách hai vế của phương trình cho
*
, đem lại phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

*
là tập nghiệm của phương trình
*
. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*

Ta thấy với bọn họ nghiệm

*
, thay
*
ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số địa điểm điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

*
trên đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

*

*

*
.

Do đó có 4 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình vẫn cho trên tuyến đường tròn lượng giác là

*
.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

*

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
.B.
*
.C.
*
.D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*
\+2left< (sin ^2x+cos ^2x)^2-2sin ^2xcos ^2x ight>endarray" />

*

*

*

*

*

*

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
*

Phương trình tương đương:

*

*

*

*
.

*

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

II. Phương trình hàng đầu đối với
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình hàng đầu đối với
*
*
là phương trình bao gồm dạng:

*


Cách giải:Điều kiện để phương trình có nghiệm:
*
.

Chia hai vế của phương trình cho

*
ta được:

*

Do

*
nên đặt
*
.

Khi kia phương trình trở thành:

*
.
*

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Tìm tất cả các quý giá thực của
*
để phương trình tất cả nghiệm.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
có nghĩa
*
(1)

Phương trình bao gồm nghiệm

*
(2)

Từ (1), (2) suy ra không tồn tại giá trị nào của

*
để phương trình tất cả nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào dưới đây vô nghiệm:

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình

*
*
.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

*
*

*

Trên khoảng

*
phương trình tất cả một nghiệm là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*

*
.

Phương trình

*
" />

*

*

*

*

Kết phù hợp với điều khiếu nại ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

*
.

A.

*
.B.
*
.

C.

*
.D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
+sqrt3sin 4x=2" />

*

*

*

*

*

*

*

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình gồm dạng:

*
trong đó
*
là các hằng số
*
*
là một hàm số lượng giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác có tác dụng ẩn phụ và đặt đk cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc nhì theo ẩn phụ này. Sau cùng đưa về giải những phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

*
thuộc khoảng
*
là?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, phương trình trở thành:
*
.


Với
*
ta có:
*
.

Do

*
ta có:
*
.

Do

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
(*)

Phương trình

*

*

*
(thỏa mãn đk (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*

*

*
.

*

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số

*
để phương trình
*
có nghiệm bên trên khoảng
*
?

A.

*
.B.

Phương trình

*
.

*

Nhận thấy phương trình

*
không tất cả nghiệm bên trên khoảng
*
. Cho nên phương trình đang cho có nghiệm trực thuộc khoảng
*
khi và chỉ còn khi phương trình
*
có nghiệm thuộc
*
*
*

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với
*
*
là phương trình có dạng:

*


Cách giải:
+ soát sổ xem
*
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
*
, phân tách hai vế của phương trình cho
*
ta thu được phương trình:
*

Đây là phương trình bậc nhị đối với

*
mà ta đã hiểu cách thức giải.


Chú ý:
+ Phương trình dạng
*
ta làm cho như sau:
+ Đối với phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc ba:
*

thì bí quyết giải cũng hoàn toàn tương từ như trên.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.

*
không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu phân chia hai vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

D. Phương trình sẽ cho tương đương với

*
.

Lời giải:

Với
*
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy B đúng.


Chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy C sai.


Phương trình
*
.

*

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

*
tương đương với phương trình như thế nào sau đây?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:


Xét
*
, chũm vào phương trình ta được:
*
(vô lí).

Do đó

*
không là nghiệm của phương trình.


Với
*
, chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét
*
, cố gắng vào phương trình ta được:
*
(vô lí). Do đó
*
không là nghiệm của phương trình.Xét
*
, phân chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*


+ Với
*
:

*
:

*
để phương trình sau bao gồm nghiệm:

*

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét
*
, cố vào phương trình ta được:
*
. Phương trình bao gồm nghiệm khi còn chỉ khi
*
.Xét
*
, phân chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*

Nếu
*
ta có:
*
(vô lí).Nếu
*
, phương trình (*) bao gồm nghiệm
*
thì phương trình đang cho gồm nghiệm. Cho nên vì thế có 2 quý hiếm nguyên của
*
thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2:

Phương trình

*

*

Phương trình bao gồm nghiệm

*

*

Chọn A.

V. Phương trình chứa
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Là phương trình tất cả dạng:
*

Cách giải:Đặt
*
(điều kiện
*
). Biểu diễn
*
theo
*
ta được phương trình cơ bản.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

*
thỏa mãn phương trình
*
. Tính
*
.

A.

*
hoặc
*
.

B.

*
hoặc
*
.

C.

*
hoặc
*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Ta có

*
*

Phương trình trở thành:

*
.

Với

*
, ta được
*
.

Với

*
, ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
.

Đặt

*
" />.

Xem thêm: Cách Khôi Phục Id Apple Khi Bị Vô Hiệu Hoá Đơn Giản Nhất, Cách Lấy Lại Mật Khẩu Id Apple Khi Bị Mất

*
.

Phương trình trở thành:

*

*

Với

-->