ĐỊNH NGHĨA VỀ CẤP SỐ NHÂN

Cấp số nhân là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn). Trong đó kể từ số hạng máy 2, mỗi số hạn hầu như là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với số không thay đổi q. Số q call là công bội của cung cấp số nhân




Bạn đang xem: Cấp số nhân

Công bội q

Gọi q là công bội của cung cấp số nhân ta bao gồm công thức công bội

*

Ví dụ cho cấp số nhân (un) gồm u1 = 2 , u2 = 4. Tính công bội q

Áp dụng cách làm công bội q ta có

*

Nếu (un) là cung cấp số nhân với công bội q, ta bao gồm un +1 = un.q, với đa số số nguyên dương n.

Tính chất của cấp cho số nhân

Định lí 1: nếu (un) là một trong cấp số nhân thì kể từ số hạng sản phẩm công nghệ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bởi tích của nhị số hạng đứng kề nó vào dãy, tức là

u2k = uk-1 . Uk+1

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân (un) cùng với công trét q > 0. Biết u1 = 1, u3 = 3. Hãy kiếm tìm u4

Giải:

Theo gắn lý 1 ta có

u22 = u1.u3

u32 = u2.u4

Từ (1) vì chưng u2 > 0 ( do u1 = 1 >0 cùng q > 0)

*

 Từ đây và (2) ta được

*

SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Số hạng tổng thể của cấp cho số nhân

Nếu một cấp số nhân tất cả số hạng đầu (un) cùng công bội q thì số hạng tổng quát (un) sẽ được tính vày công thức:

un = u1. Qn-1

Ví dụ: Cho cấp số nhân un cùng với u1 = 3, q = -1/2. Tra cứu u7

Giải:

un = u1.qn-1 suy ra u7 = u1.q7-1 = 3 . (-1/2)6 = (3/64)

Tìm tổng n số hạng trước tiên của một cấp số nhân

Giả sử tất cả cấp số nhân (un) cùng với công bội q. Với từng số nguyên dương n hotline sn là tổng n số hạng thứ nhất của nó. Ta co cách làm sau

*

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là sn = n.u1

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội là q. Khi ấy ta bao gồm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn s bằng:

*

Ví dụ minh họa

Cho tía số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Minh chứng rằng (a2 + b2) . (b2 + c2) = (ab + bc)2

Ba số a, b, c lập thành một cung cấp số nhân ta được ac = b2

Khi: (a2 + b2) . (b2 + c2) = a2b2 + a2c2 + b4 + b2c2 = a2b2 + acb2 + b2c2 = a2b2 + 2ab2c + b2c2 = (ab + bc)2

Như vậy (a2 + b2) . (b2 + c2) = (ab + bc)2

Ví dụ 2: Tính tổng cấp cho số nhân S = 2 + 6 + 18 + … + 13122

Giải:

Xét cung cấp số nhân (un) gồm u1 = 2 cùng công bội q = 3

Ta bao gồm :

13122 = un = unqn-1 = 2.3n-1 => n = 9

Như vậy suy ra

*

Ví dụ 3: tìm kiếm x để cha số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân

Giải:

Để 3 x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cung cấp số nhân điều kiện sẽ là

( x – 4 )2 = ( x – 2 ) ( x +2 ) => 8x = 20 => x = 5/2

Vậy x = 5/2 là số cần tìm để tía số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp cho số nhân

BÀI TẬP RÈN LUYỆN VỀ CẤP SỐ NHÂN

Bài tập 1: minh chứng các hàng số sau là các cấp số nhân

*

Giải:

Xét hàng số

*

Lập tỉ số ( un+1 / un ) ta được :

*

Suy ra hàng số bên trên là cung cấp số nhân bao gồm công bội q = 2

Xét hàng số

*

Lập tỉ số ( un+1 / un ) ta được :

*

Suy ra (un) là cấp cho số nhân tất cả công bội q = ½

Xét hàng số

*

Lập tỉ số ( un+1 / un ) ta được :

*

Suy ra (un) là cấp cho số nhân tất cả công bội q = -½

Bài tập 2: Cho cấp cho số nhân (un) cùng với công bội q

a) Biết u1 = 2, u6 = 486. Kiếm tìm q

b) Biết q = 2/3, u4 = 8/21. Search u1

c) Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng sản phẩm công nghệ mấy ?

Giải:

Áp dụng phương pháp un = u1. Qn-1

a) Theo phương pháp un = u1. Qn-1 ta có: u6 = u1.q5 => q5 = u6 / u1 = 486 / 2 = 243 => q = 3

b) Theo cách làm un = u1. Qn-1 ta có: u4 = u1.q3 => u1 = u4 / q.3 = 8/21 . (3/2)2 = 9/7

c) Theo phương pháp un = u1. Qn-1 ta có: 12 = 3. (-2)n-1 => (-2)n-1 = 64 => n-1 = 6 => n = 7 như vậy 192 chính là số hạng sản phẩm công nghệ 7

Bài tập 3: Tìm những số hạng của cấp số nhân (un) tất cả 5 số hạng biết:

a) u3 = 3 với u5 = 27

b) u4– u2 = 25 với u3 – u1 = 50

Giải:

Áp dụng cách làm un = u1. Qn-1

a) Theo cách làm un = u1.

Xem thêm: To, Cc Là Gì ? Khi Nào Sử Dụng Cc, Bcc? Cách Sử Dụng Chi Tiết 2021

Qn-1 ta có

u3 = u1.q2 => 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 => 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) với (2) suy ra : quận 2 = (u1.q4) / (u1.q2) = 9 => q = 3 hoặc -3

Với q = 3 ta được u1 = 1/3, ta bao gồm cấp số nhân là 1/3, 1, 3, 9, 27

Với q = -3 ta được u1 = 1/3, ta có cấp số nhân là 1/3, -1, 3, -9, 27

b) Theo bài cho ta có :

*

Thay (2) vào (1) ta được 50.q = 25 => q = ½

Từ (2) suy ra u1 = 50/(q2 – 1) = 50 / (1/4 – 1) = (-200 / 3)

Ta gồm cấp số nhân :

*

Bài tập 4 : Tìm cung cấp số nhân bao gồm sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 cùng tổng của 5 số hạng sau là 62

Giải :

Tổng của 5 số hạng đầu là 31 như vậy

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

=> u1q + u2q + u3q + u4q + u5q =31q

=> u2 + u3 + u4 =+ u5 + u6 = 31q (1)

Tổng của 5 số hạng sau là 62 như vậy

u2 + u3 + u4 =+ u5 + u6 = 62 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 31q = 62 => q = 2

Vì S5 = 31 = u1(1-25) / (1-2) => u1 = 1

Vậy ta được cấp cho số nhân : 1, 2, 4, 8, 16, 32

Bài tập 5: tỉ lệ thành phần tăng dân sinh của tỉnh giấc x là 1,4%. Hiểu được số daancuar tỉnh hiện thời là 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương do đó thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh kia là từng nào ?