Giả sử rằng các bạn đã biết quan niệm đường tròn đơn vị và một số trong những tính hóa học của góc lượng giác và cạnh trong con đường tròn đối kháng vị, câu hỏi này phải thêm lý thuyết của số lượng giới hạn kẹp nữa.Bạn sẽ xem: chứng minh lim sinx/x=1

Đầu tiên, bọn họ nên biết một chút về số lượng giới hạn kẹp.

Bạn đang xem: Chứng minh lim sinx x 1

Giả sử ta có một trong những $b$ bị kẹp thân hai số $a$ và $c$ như sau,

$$a leq b leq c$$

Nếu $a$ cùng $c$ thuộc bằng một trong những $ extL$ làm sao đó, chính vì $b$ bị kẹp giữa $a$ cùng $c$ đề nghị ta có thể suy ra được $b$ cũng bằng $ extL$, vấn đề đó là hoàn toàn hợp tình thích hợp lý.

Giả sử $b = lim_x o 0 fracsin xx$, ta cần yếu tính thẳng $b$ khi $x o 0$ được, ta cần tìm ra hai số lượng giới hạn $a$ với $c$ để kẹp số lượng giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi tiếp nối đi tính $a$ cùng $c$, đó là ý tưởng của câu hỏi này, làm núm nào để tìm $a$ và $c$, ta đã phải phụ thuộc vào tính chất của những góc lượng giác với cạnh trong đường tròn 1-1 vị.


*

Đầu tiên mình sẽ đi tìm mối quan hệ nam nữ giữa bọn chúng trước, nhìn bởi mắt thường vào hình nghỉ ngơi trên, ta nhận ra rằng đâu đó diện tích tam giác $ extOAC$ có vẻ như như nhỏ hơn diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$, và diện tích mặt đường cung $stackrelfrown extOAC$ lại nhỏ hơn diện tích tam giác kế bên $ extOBC$, nghĩ thầm ta rất có thể áp dụng được định lý kẹp ở đoạn này, việc sót lại là cố gắng đưa nó về bí quyết góc lượng giác thử xem.

Gọi $ heta$ (thay cố cho $x$) là góc được sản xuất bởi bán kính đường tròn $ extOA$ với $ extOC$, ta có:

$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$

Mà trong đường tròn đối chọi vị, độ dài bán kính luôn luôn bằng $1$, có nghĩa là $ extOA = extOC = 1$, vậy:

$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$

Khi nói $ heta$ tiến tới $0$, có nghĩa là $ heta$ có thể tiến tự số dương (vùng I) về $0$, cũng có thể tiến từ số âm (vùng IV) về $0$, vậy để bảo đảm an toàn độ dài $ extAD$ luôn luôn đúng, ta yêu cầu thêm dấu cực hiếm tuyệt đối,

$$ extAD = |sin heta|$$

Có độ dài đoạn $ extAD$, ta rất có thể tính diện tích tam giác $ extOAC$ bằng,

$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = fracsin heta2$$

Tiếp theo, ta yêu cầu tính diện tích s cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung có đường màu vàng), ta biết rằng cả một hình trụ đơn vị sẽ sở hữu hệ số góc là $2 pi$ radian và có diện tích là $1 pi$ radian, vậy 1 phần nhỏ của hình tròn trụ (tức là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ được tính bằng phương pháp lấy hệ số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ chia cho cả hệ số góc của hình tròn sau đó nhân với diện tích của nó đúng không ạ nào.

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$

Tương từ bỏ với lí bởi như trên, ta cần được thêm giá chỉ trị tuyệt vời nhất vào $ heta$,

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2$$

Tiếp theo, tính diện tích s của tam giác $ extOBC$, ta yêu cầu tính độ nhiều năm cạnh $BC$ với,

$$ an heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = an heta cdot extOC = an heta cdot 1 = an heta$$

Suy ra diện tích tam giác $ extOBC$ bằng:

$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot an heta = frac an heta2$$

Tương từ với lí vì chưng như trên, ta rất cần phải thêm giá bán trị hoàn hảo nhất vào $ an heta$,

$$S_ extOBC = frac an heta2$$

Dựa vào hình trên, ta hoàn toàn có thể đưa ra một bất đẳng thức xác định rằng diện tích tam giác $ extOAC$ luôn bé dại hơn diện tích s đường cung $stackrelfrown extOAC$ và luôn nhỏ hơn diện tích s tam giác $ extOBC$, hay,

$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$

Thế các công dụng tính diện tích vào, ta có,

$$frac2 leq frac2 leq frac2$$

Bây giờ làm gắng nào nhằm biểu thức ngơi nghỉ giữa phát triển thành $fracsin heta heta$ để áp dụng định lý kẹp thì quá tốt vời, sẽ là điều chúng ta mong muốn. Đầu tiên, nhân mỗi biểu thức vào bất đẳng thức đến $2$ với mục đích để khử số $2$ đi, ta được,

$$|sin heta| leq | heta| leq | an heta|$$

Khai triển $| an heta|$, ta có,

$$|sin heta| leq | heta| leq fraccos heta$$

Tiếp tục phân chia mỗi biểu thức trong bất đẳng thức mang lại $|sin heta|$, ta được,

$$frac leq frac leq fracleft( fraccos heta ight)$$

Rút gọn gàng một xíu,

$$1 leq fracsin heta leq frac1cos heta$$

Thực hiện đảo ngược tử số và mẫu mã số của từng biểu thức vào bất đẳng thức, khi hòn đảo ngược, dấu của bất đẳng thức sẽ cầm cố đổi,

$$1 geq fracsin heta geq |cos heta|$$

Bây tiếng xét vết của cực hiếm tuyệt đối,

Đối với biểu thức $frac heta$, lúc $ heta$ tiến từ bỏ vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn là sẽ dương, lúc $ heta$ tiến trường đoản cú vùng âm (vùng IV) về $0$, hiệu quả sẽ bởi $frac-sin heta- heta$ chắc chắn rằng cũng đã dương.

Đối cùng với biểu thức $|cos heta|$, khi $ heta$ tiến về $0$ là những giá trị nằm trên trục $Ox$, tức là đoạn trực tiếp $ extOC$, mang đến nên công dụng $cos heta$ luôn luôn dương.

Xem thêm: Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 1 Tập 2, Giải Vbt Tiếng Việt Lớp 1 Tập 2

Vậy, ta có thể bỏ vết giá trị tuyệt đối đi,

$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$

Lưu ý, biểu thức bên trên chỉ đúng trong các miền quý giá từ $fracpi2$ mang đến $frac-pi2$, có nghĩa là trong vùng I và vùng IV của mặt đường tròn solo vị, bởi vì $ heta$ tiến tới $0$ cho nên vì vậy nó chỉ ở trong hai khoảng này, chúng ta không cần xét thêm nhị vùng sót lại kia.

Bây giờ, đã đến lúc thêm giới hạn vào các biểu thức bé trong bất đẳng thức trên,

$$lim_ heta o 0 1 geq lim_ heta o 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$

Ta có,

$lim_ heta o 0 1 = 1$$lim_ heta o 0 cos heta = cos 0 = 1$

Đã mang đến lúc thực hiện định lý giới hạn kẹp, bởi vì $lim_ heta o 0 fracsin heta heta$ bị kẹp thân hai số lượng giới hạn $lim_ heta o 0 1$ với $lim_ heta o 0 cos heta$, mà họ đã tính được tác dụng ở 2 giới hạn kẹp cùng đều bằng $1$, cho nên vì thế giới hạn làm việc giữa chắc chắn là cũng sẽ bằng $1$,