A. Cách thức giải

+) Áp dụng định lý: nếu hàm số y = f(x) liên tiếp trên đoạn cùng f(a).f(b)

*

B. Ví dụ minh họa


Ví dụ 1: chứng tỏ rằng phương trình 4x3 - 8x2 + 1 = 0 tất cả nghiệm trong khoảng (–1;2).

Bạn đang xem: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) = 4x3 - 8x2 + 1 liên tiếp trên R. 

Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 yêu cầu f(-1).f(2) 3 + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x3 + x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tiếp trên đoạn <0; 1> (vì <0; 1> ⊂ R) (1)

Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . F(1) = - 1. 1 = - 1 4 + 2x2 - x - 3 = 0 có tối thiểu hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 - x - 3

Vì f(x) là hàm nhiều thức bắt buộc f(x) liên tiếp trên R.

Suy ra f(x) tiếp tục trên các đoạn <-1 ; 0> và <0; 1>.

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2

+ bởi f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm nhiều thức).

Ta có:

*
*

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với đa số giá trị của thông số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4

Ta có:

*

Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R yêu cầu hàm số liên tiếp trên đoạn <-2; 0>

Do kia phương trình f(x) = 0 có tối thiểu 1 nghiệm thuộc khoảng tầm (-2; 0).

Vậy phương trình vẫn cho luôn có tối thiểu 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

*

C. Bài tập áp dụng

Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng chừng (-2;1): 2x5-5x3-1=0.

Bài 2. CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3. CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có tối thiểu một nghiệm.

Xem thêm: Nội Dung Bài Tinh Thần Yêu Nước Của Nhân Dân Ta, Tinh Thần Yêu Nước Của Nhân Dân Ta

Bài 4. CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân minh trên khoảng (-1; 1).