Bất đẳng thức Cô-si: lý thuyết cần ghi ghi nhớ và những dạng bài xích tập hay gặp

Bất đẳng thức Cô-si giỏi bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và trung bình nhân của n số thực ko âm. Bài viết hôm nay, thpt Sóc Trăng sẽ ra mắt về một số kiến thức đề xuất nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập hay gặp. Bạn khám phá nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn sẽ xem: Bất đẳng thức Cô-si: lý thuyết cần ghi ghi nhớ và các dạng bài bác tập hay gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Bao gồm nhiều phương pháp để chứng minh bđt này tuy nhiên hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Bạn đang xem: Cô si


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và trung bình nhân của n số thực ko âm được tuyên bố như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bởi trung bình nhân của chúng, cùng trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bởi nhau.

*
*

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô say đắm với n số thực ko âm:

*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*

2. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng thể của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 & ne 0 <3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 & > 0 <3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 0 <3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 <3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 <3pt> Bigl( fracx_1 + x_22 Bigr)^2 & > x_1 x_2 <3pt> fracx_1 + x_22 & > sqrtx_1 x_2 endalign " />

điều đề xuất chứng minh.

d. Trường thích hợp n = 2k

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một vài nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường hòa hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng tỏ ở trên.

Khi, gồm một giá chỉ trị k> 1 bất kỳ, đưa sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần minh chứng rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để có tác dụng như vậy, công việc được triển khai như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>x_1 x_2 cdots x_2^k" />

(điều cần chứng minh).

e. Trường đúng theo n k

Nếu n không phải là 1 hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2, thì nó chắc chắn rằng là nhỏ dại hơn một số trong những nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, do chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị ngăn trên. Vì chưng đó, nhưng không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2 béo hơn n.

Xem thêm: Trọng Tâm Là Gì? Công Thức Tính Chất Trọng Tâm Tam Giác Vuông

Vì vậy, nếu ta có n số, thì ta có thể biểu diễn quý hiếm trung bình cùng α, và được không ngừng mở rộng như sau:

*
*
& = fracfracmn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + fracm-nn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpham <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + x_n+1 + cdots + x_mm <6pt> & > sqrtx_1 x_2 cdots x_n x_n+1 cdots x_m <6pt> & = sqrtx_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n,, endalign " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n <5pt> alpha^n & > x_1 x_2 cdots x_n <5pt> alpha & > sqrtx_1 x_2 cdots x_n endalign " />

điều đề nghị chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập gồm lời giải:

Bài 1: Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0 với ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 vừa lòng điều kiện 

*
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ còn khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với tía số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán dành được dấu bởi khi và bỏ ra khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng cách thức làm trội làm sút như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô đê mê cho cha số a, b, c ko âm có:

*

Tương từ bỏ ta có 

*
 và 
*

Cộng vế cùng với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của các biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: phát triển thành đổi 

*
 rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: biến hóa rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: vươn lên là đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, hội chứng minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô mê say cho cha số a, b, c ko âm)

Bài 4: Cho bố số thực dương a, b, c vừa lòng a + b + c = 3. Minh chứng rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)