- tế bào đun của số phức (z = a + bi) là (left| z ight| = sqrt a^2 + b^2 ge 0)
- Bất đẳng thức Cô-si: (x + y ge 2sqrt xy ) với (x,y > 0)
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (left( a^2 + b^2 ight)left( c^2 + d^2 ight) ge left( ac + bd ight)^2)
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: (left| ight| le left| z_1 pm z_2 ight| le left| z_1 ight| + left| z_2 ight|)
Dạng 1: tìm số phức thỏa mãn nhu cầu điều kiện gồm mô đun nhỏ tuổi nhất, khủng nhất.
Bạn đang xem: Công thức max min số phức
Phương pháp:
- bước 1: call số phức (z = x + yileft( x,y in R ight)).
- bước 2: rứa (z) và biểu thức đã đến tìm mối quan hệ của (x,y).
- bước 3: Đánh giá biểu thức đạt được để search max, min, từ đó suy ra (x,y Rightarrow z).
Ví dụ: Cho (z_1;z_2) thỏa mãn (left| z_1 - z_2 ight| = 1;left| z_1 + z_2 ight| = 3.) Tính max(T = left| z_1 ight| + left| z_2 ight|.)
A. (8)
B. (10)
C. (4)
D. (sqrt 10 )
Giải
Đặt (z_1 = x_1 + y_1i;z_2 = x_2 + y_2i.) ((x_1,y_1,x_2,y_2 in R)). Điều kiện đã mang lại trở thành
+) (left| z_1 - z_2 ight| = 1)( Rightarrow left| x_1 + y_1i - x_2 - y_2i ight| = 1 Leftrightarrow sqrt (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = 1)
( Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 - 2x_1x_2 - 2y_1y_2 = 1) (1)
+) (left| z_1 + z_2 ight| = 3 Rightarrow left| x_1 + y_1i + x_2 + y_2i ight| = 3)
( Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 9) (2)
Cộng vế cùng với vế của (1) với (2) ta được (x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5)
+) (T = left| z_1 ight| + left| z_2 ight| = sqrt x_1^2 + y_1^2 + sqrt x_2^2 + y_2^2 )
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
(T = 1.sqrt x_1^2 + y_1^2 + 1.sqrt x_2^2 + y_2^2 le sqrt left( 1 + 1 ight).left( x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 ight) )
( = sqrt 2.5 = sqrt 10 Rightarrow ) (max T = sqrt 10 .)
Đáp án D.
Ví dụ: mang lại số phức (z = x + yi) thỏa mãn nhu cầu (left| z - 2 - 4i ight| = left| z - 2i ight|) đồng thời bao gồm mô đun nhỏ nhất. Tính (N = x^2 + y^2.)
A. (N = 8)
B. (N = 10)
C. (N = 16)
D. (N = 26)
Giải
Gọi (M(x,y)) là vấn đề biểu diễn của số phức (z = x + yi)
+) (left| z - 2 - 4i ight| = left| z - 2i ight|)( Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = x^2 + (y - 2)^2 Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4)
( Leftrightarrow 4x + 4y = 16 Leftrightarrow x + y - 4 = 0)
Suy ra tập đúng theo điểm trình diễn của (z) là một trong những đường trực tiếp (x + y - 4 = 0)
+) (N = x^2 + y^2 = z ight)
( Rightarrow N)min( Leftrightarrow left| z ight|)min( Leftrightarrow OM)min ( Rightarrow OM ot d:x + y - 4 = 0)
Ví dụ: đến (z) thỏa mãn nhu cầu (left| z - 2 - 4i ight| = sqrt 5 .) tìm max(left| z ight|.)
A. (3sqrt 5 )
B. (5)
C. (sqrt 5 )
D.
Xem thêm: Tóm Tắt Lịch Sử Đội Thiếu Niên Tiền Phong Hồ Chí Minh, Lịch Sử Đội Thiếu Niên Tiền Phong Hồ Chí Minh
(sqrt 13 )
Giải
Dấu hiệu: Đề bài xích yêu mong tính max của một mô đun ta áp dụng bất đẳng thức đựng dấu cực hiếm tuyệt đôi.
Ta có: (left| z ight| - left| - 2 - 4i ight| le left| z - 2 - 4i ight| Leftrightarrow left| z ight| - sqrt 20 le sqrt 5 Leftrightarrow left| z ight| le sqrt 20 + sqrt 5 = 3sqrt 5 )