Số phức và những dạng toán về số phức là một trong những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng cùng khá khó hiểu, một phần nguyên nhân là họ đã vượt quen cùng với số thực giữa những năm học trước.

Bạn đang xem: Công thức số phức toán 12


Vì vậy, ở nội dung bài viết này firmitebg.com sẽ hệ thống lại những dạng toán về số phức mặt khác hướng dẫn giải pháp giải những dạng bài bác tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài xích tập số phức, chúng ta cũng nên nhớ các nội dung về định hướng số phức.

I. định hướng về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập thích hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bởi 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bởi 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
*

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , (được màn trình diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang đến 2 số phức: , khi đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- đến 2 số phức: , khi đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân tách số phức không giống 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- đến số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 có đúng một căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- cho phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang đến trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 trong những acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân tách số phức bên dưới dạng lượng giác

- mang lại z = r(cosφ + isinφ) cùng z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Phương pháp Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• mang lại z = r(cosφ + isinφ), r > 0 tất cả căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm n căn bậc n là:

 

*
*

II. Các dạng toán về Số phức và giải pháp giải

Dạng 1: những phép tính về số phức

* cách thức giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ quá và đặc thù phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi đo lường và thống kê các số thức hoàn toàn có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng tốt hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: cho số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp cho số nhân với số hạng trước tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các đặc thù của số phức, những phép đổi khác để giải quyết và xử lý bài toán.

° ví dụ như 1: kiếm tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức yêu cầu tìm là 1 + i1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác định phần thực phần ảo, kiếm tìm đối số, nghịch đảo module, phối hợp của số phức và màn trình diễn hình học của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài bác toán tương quan tới đặc điểm của số phức.

♦ nhiều loại 1: tìm kiếm phần thực phần ảo của số phức

- biện pháp giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức sẽ cho tất cả phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức vẫn cho gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức vẫn cho gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ các loại 2: màn biểu diễn hình học tập của số phức

- phương pháp giải: thực hiện điểm M(a;b) biểu diễn số phức z cùng bề mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn biểu diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là màn trình diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có màn trình diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ một số loại 3: Tính Module của số phức

- biện pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tra cứu mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- tất cả

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ nhiều loại 4: tìm kiếm số đối của số phức

- phương pháp giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ một số loại 5: tìm số phức phối hợp của số phức z

- giải pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z với giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được những nghiệm

*

♦ nhiều loại 6: kiếm tìm số phức nghịch hòn đảo của số phức

- phương pháp giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bởi nhau.

- giải pháp giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y làm sao để cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* cách thức giải:

♦ loại 1: Số phức z đồng tình về độ lâu năm (module) lúc đó ta sử dụng công thức 

♦ một số loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi ấy ta sử dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 cùng b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập đúng theo điểm M biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài bác ra,

 

*

- cùng với x ≠ 0 với y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập vừa lòng điểm M là con đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) hotline N là vấn đề biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy vậy với Ox

- Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và tuy vậy song với Ox, đó là đường trực tiếp y = -3.

c) call I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là con đường tròn vai trung phong I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Triệu chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- mặt khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- từ bỏ (1) và (2) bao gồm VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức cùng phương trình bậc 2

* cách thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được điện thoại tư vấn là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z tốt (x + yi)2 = a + bi.

- lưu ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản và dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, hay x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình bao gồm dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

- phương pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình bao gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình tất cả 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: call z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên gồm 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm kiếm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- gọi m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài bác toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta tất cả hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đã cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* cách thức giải: Đặt ẩn phụ và đem lại phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- nhấn thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình phải chia 2 vế cho z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) tất cả 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, lúc ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) phân biệt z=0 chưa phải là nghiệm của phương trình buộc phải chia 2 vế pt mang lại z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, khi đó pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* cách thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng gốc rễ cho hàng loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, bí quyết Euler.

- phương pháp 1: 

*

- công thức 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ quá ta bao gồm phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý giá của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình vẫn cho tất cả 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi z=-1 không hẳn là nghiệm của phương trình đề nghị nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không sở hữu và nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình vẫn cho gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* cách thức giải: Vận dụng kỹ năng tìm rất trị

° lấy ví dụ như 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z tất cả modul bé dại nhất.

Xem thêm: Top 10 Giáo Án Văn 10 Bài Lập Dàn Ý Bài Văn Tự Sự Lớp 10 Violet

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vị vậy các điểm M trình diễn số phức z thoả mãn vấn đề nằm trên tuyến đường tròn trọng tâm I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất khi còn chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi ấy M là giao điểm của (C) và mặt đường thẳng OI, cùng với M là giao điểm ngay gần O rộng và 

*