Tích phân là kỹ năng và kiến thức quan trọng, để học xuất sắc thì học sinh cần nhớ cục bộ công thức tích phân. Bài viết này vẫn giới thiệu toàn thể công thức và hệ thống các dạng tích phân thường gặp gỡ trong đề thi. Chỉ cần nhớ và áp dụng thành nhuần nhuyễn là bạn đã chiếm hữu điểm về tối đa.

Bạn đang xem: Công thức tích phân: đầy đủ & chi tiết


Cơ sở lý thuyếtCông thức tích phân cơ bảnPhương pháp đổi khác từ bí quyết tính tích phân2. Một số trong những dạng toán hay gặpPhương pháp tính tích phân từng phần

Cơ sở lý thuyết

Khái niệm tích phân

Cho hàm số (fleft( x ight)) thường xuyên trên đoạn (left< a;b ight>,Fleft( x ight)) là một nguyên hàm của hàm số (fleft( x ight)) trên đoạn (left< a;b ight>). Hiệu (Fleft( b ight) – Fleft( a ight)) được điện thoại tư vấn là tích phân của (f) từ bỏ (a) đến (b). Kí hiệu:

$I = intlimits_a^b fleft( x ight)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) – Fleft( a ight)$

Tính hóa học tích phân

Giả sử các hàm số (f,g) tiếp tục trên (left< a;b ight>,c) là điểm bất kì nằm trong (left< a;b ight>). Khi đó ta có:

(intlimits_a^a fleft( x ight)dx = 0)(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = – intlimits_b^a fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b k.fleft( x ight)dx = k.intlimits_a^b fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a^b fleft( t ight)dt )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx + intlimits_b^c fleft( x ight)dx = intlimits_a^c fleft( x ight)dx ;) (forall b in left< a;c ight>)(intlimits_a^b left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight>dx ) (= intlimits_a^b fleft( x ight)dx pm intlimits_a^b gleft( x ight)dx )Nếu (fleft( x ight) ge 0) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge 0)Nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) trên (left< a;b ight>) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge intlimits_a^b gleft( x ight)dx ).

Công thức tích phân cơ bản

Tính tích phân thực hiện bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân những hàm số cơ bạn dạng (đa thức, lượng giác, mũ,…) các em cần chăm chú sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết phù hợp với công thức Leibnitz: (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = Fleft( b ight) – Fleft( a ight))

ở đó, (fleft( x ight)) là hàm liên tục trên (left< a;b ight>) cùng (Fleft( x ight)) là một trong nguyên hàm của (fleft( x ight)).


*

Tính tích phân có chứa dấu quý hiếm tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng (intlimits_a^b left ), phương thức chung là ta cố gắng phá vệt giá trị tuyệt đối hàm (fleft( x ight)) trên từng khoảng nhỏ nằm trong vòng (left( a;b ight)) rồi tính lần lượt những tích phân đó.

Phương pháp đổi khác từ cách làm tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ


Vi phân: (eginarraylt = uleft( x ight) Rightarrow dt = u’left( x ight)dx\uleft( t ight) = vleft( x ight) Rightarrow u’left( t ight)dt = v’left( x ight)dxendarray)Công thức thay đổi biến: (intlimits_a^b fleft< uleft( x ight) ight>u’left( x ight)dx = intlimits_tleft( a ight)^tleft( b ight) fleft( t ight)dt )

2. Một số dạng toán thường gặp


Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi vươn lên là (t = uleft( x ight)). Bước 1: Đặt (t = uleft( x ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = uleft( a ight) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b ight) = b’endarray ight.) .Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x ight)dx).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx) thành (gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt ).
Dạng 2: Tính tích phân bằng cách thức đổi biến hóa (x = uleft( t ight)).
Bước 1: Đặt (x = uleft( t ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’endarray ight.).Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t ight)dt).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u’left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính nguyên hàm theo bí quyết (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt )

Phương pháp tính tích phân từng phần

Kiến thức đề xuất nhớ


Công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. left( uv ight) ight|_a^b – intlimits_a^b vdu )

2. Một vài bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần


Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 2: Tích phân bao gồm chứa hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 3: Tích phân bao gồm chứa hàm số lượng giác cùng hàm nhiều thức.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = – dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.) Bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 4: Tích phân tất cả chứa hàm con số giác cùng hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d ight)dx ).

Xem thêm: Top 12 Bài Văn Thuyết Minh Về Con Trâu Lớp 9 Siêu Hay, Top 21 Bài Thuyết Minh Về Con Trâu Lớp 9 Siêu Hay

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = sin left( cx + d ight)dxendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = cos left( cx + d ight)dxendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n udv = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Hy vọng với nội dung bài viết này sẽ giúp đỡ ích bạn đạt kết quả cao.