Giải: Đặt $left{ eginarraylu = ln t\dv = dtendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfracdtt\v = tendarray ight.$.

Bạn đang xem: Tích phân từng phần tính nhanh bằng sơ đồ

Khi kia $I = tln tleft| _scriptstyleatopscriptstyle1^scriptstyle2atopscriptstyle ight. - intlimits_1^2 dt = tln tleft| _scriptstyleatopscriptstyle1^scriptstyle2atopscriptstyle ight. - tleft| _scriptstyleatopscriptstyle1^scriptstyle2atopscriptstyle ight. = 2ln 2 - 1.$

2. Một vài bài toán thường xuyên áp dụng cách thức tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân tất cả chứa hàm số logarit.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

- bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)

- bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_1^e xln x mdx. $

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = ln x\dv = xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfracdxx\v = dfracx^22endarray ight.$

Khi đó $I = dfracx^2ln x2left| eginarrayl^e\_1endarray ight. - dfrac12intlimits_1^e x = dfrace^22 - dfracx^24left| eginarrayl^e\_1endarray ight. = dfrace^2 + 14$


Dạng 2: Tích phân gồm chứa hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- cách 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f"left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)

- bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính (I = intlimits_0^1 left( 2x + 3 ight)e^x mdx )

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = 2x + 3\dv = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = 2dx\v = e^xendarray ight.$

Khi kia $I = left. left( 2x + 3 ight)e^x ight|_0^1 - intlimits_0^1 2e^xdx = left. left( 2x + 3 ight)e^x ight|_0^1 - left. 2e^x ight|_0^1 = 3e - 1.$


Dạng 3: Tích phân bao gồm chứa hàm con số giác cùng hàm nhiều thức.


Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

- bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f"left( x ight)dx\v = - dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f"left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.)

- cách 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_0^dfracpi 4 xsin 2x mdx $

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = x\dv = sin 2xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dx\v = - dfraccos 2x2endarray ight..$

Khi kia $I = - dfracxcos 2x2left| _scriptstyleatopscriptstyle0^dfracpi 4 ight. + dfrac12intlimits_0^dfracpi 4 cos 2xdx = - dfracxcos 2x2left| _scriptstyleatopscriptstyle0^dfracpi 4 ight. + dfracsin 2x4left| _scriptstyleatopscriptstyle0^dfracpi 4 ight. = dfrac14.$


Dạng 4: Tích phân có chứa hàm con số giác với hàm số mũ.

Xem thêm: Giáo Án Nhận Biết Khối Cầu Khối Trụ Khối Vuông Khối Chữ Nhật

Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d ight)dx ).

- cách 1: Đặt (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = sin left( cx + d ight)dxendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = cos left( cx + d ight)dxendarray ight.)

- bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n udv = left. Uv ight|_m^n - intlimits_m^n vdu )

Ví dụ: Tính $K = intlimits_0^pi e^xcos 2x mdx $

Giải: Đặt $left{ eginarraylu = cos 2x\dv = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = - 2sin 2xdx\v = e^xendarray ight.$

Suy ra $K = left( e^xcos 2x ight)left| eginarray*20c^pi \_0endarray ight. + 2intlimits_0^pi e^xsin 2xdx = e^pi - 1 + 2M$

Tính $M = intlimits_0^pi e^xsin 2xdx $

Ta đặt $left{ eginarraylu_1 = sin 2x\dv_1 = e^xdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu_1 = 2cos 2x\v_1 = e^xendarray ight.$

Suy ra $M = left( e^xsin 2x ight)left| eginarray*20c^pi \_0endarray ight. - 2intlimits_0^pi e^xcos 2x = - 2K$

Khi đó $K = e^pi - 1 + 2left( - 2K ight) Leftrightarrow 5K = e^pi - 1 Leftrightarrow K = dfrace^pi - 15$