Phương trình lượng giác luôn luôn là dạng toán gây khó cho những em, do dạng toán cũng rất đa dạng và tập nghiệm lại mang ý nghĩa tổng quát. Và việc giải biện luận phương trình tất cả tham số m đã càng phức hợp hơn bởi đòi hỏi kiến thức tổng thể hơn.

Bạn đang xem: Để phương trình lượng giác có nghiệm


Việc giải cùng biện luận phương trình lượng giác tất cả chứa tham số m để giúp các em cầm cố được bí quyết giải một các tổng quát, qua đó khi giải các phương trình lượng giác cụ thể sẽ cảm thấy dễ dãi hơn rất nhiều.

Với các câu hỏi lượng giác cất tham số hay yêu cầu tìm điều kiện của tham số nhằm phương trình có nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số nhằm phương trình bao gồm n nghiệm thuộc một khoảng D nào đó. Bài viết dưới đây, sẽ giúp các em nắm bắt được biện pháp giải dạng phương trình này.

I. Phương pháp giải phương trình lượng giác chứa tham số m

Cho phương trình lượng giác có chứa thông số m dạng Q(m,x) = 0 (*)

Để giải việc biện luận phương trình lượng giác gồm chứa thông số m ta thường sử dụng hai biện pháp sau:

phương pháp 1: phương pháp tam thức bậc 2 (áp dụng khi gửi Q(m,x) về dạng tam thức bậc 2)

- cách 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong những số đó h(x) là một biểu thức tương thích trong phương trình (*)

- cách 2: tra cứu miền quý hiếm (điều kiện) của t trên tập khẳng định D (x ∈ D). Hotline miền quý hiếm của t là D1

- bước 3: Đưa phương trình (*) về phương trình dạng f(m,t) = at2 + bt + c = 0 (**)

- cách 4: Giải (**) tìm đk để tam thức f(m,t) bao gồm nghiệm

- cách 5: Kết luận

 Cách 2: Phương pháp đạo hàm

- bước 1: Từ phương trình (*): Q(x,m) = 0 ta thường đổi khác về dạng F(x) = m với đặt ẩn phụ để mang về dạng G(t) = m.

Bước 2: Tìm miền quý hiếm (điều kiện) của t trên tập xác minh D (x ∈ D). Call miền giá trị của t là D1

- bước 3: Lập bảng trở nên thiên của hàm số G(t) trên miền xác minh D1

- cách 4: phụ thuộc bảng biến chuyển thiên của hàm số nhằm biện luận nghiệm của phương trình.

Một số dạng đặc biệt quan trọng như phương trình: asinx + bcosx = c gồm nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2.

II. Giải với biện luận phương trình tất cả chứa tham số m qua ví dụ như minh họa

* lấy ví dụ như 1: search m để phương trình sau tất cả nghiệm:

 2sin2x - sinx.cosx - cos2x - m = 0 (*)

* Lời giải:

- Ta có: 

*

*

(*) bao gồm nghiệm ⇔ 12 + 32 ≥ (1 - 2m)2

⇔ 4m2 - 4m - 9 ≤ 0

⇔ 

*

Vậy cùng với

*
 thì phương trình (*) bao gồm nghiệm.

* lấy ví dụ như 2: kiếm tìm m để phương trình sau tất cả nghiệm x (0; π/4)

 mcos2x - 4sinx.cosx + m - 2 = 0 (*)

* Lời giải:

Với x∈(0; π/4) suy ra cosx ≠ 0.

Có sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: 

*

Ta phân chia cả nhì vế của phương trình mang lại cos2x ≠ 0 ta được:

 m - 4tanx + (m - 2)(1 + tan2x) = 0

⇔ (m - 2)tan2x - 4tanx + 2m - 2 = 0 (**)

Đặt t = tanx vì x∈(0; π/4) đề xuất t∈(0;1), ta được

 (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0 (***)

Khi đó (*) bao gồm nghiệm x∈(0;π/4) khi và chỉ còn khi (***) gồm nghiệm t∈(0;1)

Ta rất có thể sử dụng một trong hai phương pháp giải đang nêu ngơi nghỉ trên và việc này.

* phương pháp 1: sử dụng tam thức bậc 2 (giải tương tự cách giải với biện luận phương trình bậc 2 một ẩn gồm tham số).

+) với m - 2 = 0 ⇔ m = 2 khi ấy (***) bao gồm dạng:

 -4t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2∈(0;1)

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) Với m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 lúc đó (***) có nghiệm t∈(0;1) rất có thể xảy ra 2 ngôi trường hợp

- TH1: pt(***) có một nghiệm nằm trong đoạn (0;1), tức là:

 f(0).f(1)

 ⇔ 1

- TH2: pt(***) tất cả 2 nghiệm thuộc đoạn (0;1)

*

Không có mức giá trị nào m thỏa

(Giải thích ý nghĩa sâu sắc hệ trên: Δ"≥0 nhằm phương trình gồm 2 nghiệm; af(1)>0 để 1 nằm ngoài khoảng chừng 2 nghiệm; af(0)>0 để 0 ở ngoài khoảng hai nghiệm; 0

⇒ Kết luận: với 1

* phương pháp 2: Dùng cách thức đạo hàm (hàm số)

- Viết lại phương trình: (m - 2)t2 - 4t + 2m - 2 = 0

 ⇔ mt2 - 2t2 - 4t + 2m - 2 = 0

 ⇔ (t2 + 2)m = 2t2 + 4t + 2

 

*

Phương trình gồm nghiệm x ∈(0;π/4) khi và chỉ khi con đường thẳng y = m giảm đồ thị hàm số  trên (0;1).

Xét hàm số (C):  trên (0;1)

ta có: 

*
 
*
 tức là hàm số đồng vươn lên là trên (0;1).

Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Thử Văn Nam Định 2021 Lần 2 021 Tỉnh Nam Định

Do đó đường thẳng y = m giảm đồ thị hàm số (C) trên khoảng (0;1) khi và chỉ còn khi:

y(0) * lấy ví dụ như 3: Tìm m để phương trình sau bao gồm nghiệm x∈(0;π/12):

 cos4x = cos23x + msin2x (*)

* Lời giải:

Sử dụng bí quyết bậc 2, phương pháp bậc 3

- Ta có: 

*

 

*

Đặt t = cos2x, vì x∈(0;π/12) buộc phải 2x∈(0;π/6)

suy ta: t = cos2x thì  khi đó, ta có:

 

*

*

*

*
 (vì t≠1).

* phương pháp 1: Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t, ta có:

 

*

Vì  nên

*

Do đó (*) có nghiệm x∈(0;π/12) khi còn chỉ khi con đường thẳng y = m giảm (P) trên 

*

sin4x + cos4x = sin4x + 2sin2xcos2x + cos4x - 2sin2xcos2x

 = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x = 1 - 2(sinxcosx)2

 

*

sin24x = (sin4x)2 = (2sin2xco2x)2 = 4sin22xcos22x

 = 4sin22x(1 - sin22x) = 4sin22x - 4sin42x

Do đó, phương trình (*) được đưa về dạng

*

*

*

Đặt t = sin22x đk 0 ≤ t ≤ 1 khi đó phương trình tất cả dạng:

 4t2 - 3t = m (1)

* cách 1: Để pt(*) gồm nghiệp thì pt(1) có nghiệm t∈<0;1>. Có 2 trường hợp: Pt(1) có một nghiệm hoặc có 2 thuộc <0;1>