Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Những hàm số lũy thừa tất cả tập khẳng định khác nhau, phụ thuộc vào (alpha): 

- ví như (alpha) nguyên dương thì tập những định là (R).

Bạn đang xem: Điều kiện của hàm số lũy thừa

- ví như (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập những định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) ko nguyên thì tập những định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác minh là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập xác minh (R), trong khi đó những hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều gồm tập xác định ((0; +∞)). Do vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( tuyệt (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là phần đông hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy vượt với số mũ tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai số đông (x ∈ (0; +∞)) với (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- giả dụ hàm số (u=u(x)) nhận giá trị dương và bao gồm đạo hàm trong khoảng (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng bao gồm đạo hàm trên (J) và " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số mũ nguyên dương

Trong trường vừa lòng số mũ nguyên dương, hàm số lũy quá (y=x^n) có tập xác định là (R) và tất cả đạo hàm bên trên toàn trục số. Bí quyết tính đạo hàm số lũy thừa bao quát được không ngừng mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) có đạo hàm trong vòng (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số nón là số nguyên âm thì hàm số lũy quá (y=x^n) gồm tập khẳng định là (Rackslash left 0 ight\) và gồm đạo hàm tại hầu như (x) không giống (0), cách làm đạo hàm hàm số lũy thừa bao quát được không ngừng mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) có đạo hàm trong vòng (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể xem là mở rộng lớn của hàm lũy vượt (y = x^frac1n) (tập xác minh của (y = sqrtx) chứa tập xác minh của (y = x^frac1n) và trên tập khẳng định của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) gồm tập xác minh (R). Trên khoảng ((0; +∞) ) ta gồm (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), cho nên vì vậy (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với mọi (x) tạo cho hai vế gồm nghĩa.

Xem thêm: Biến Đổi Khí Hậu Quả Của Biến Đổi Khí Hậu Toàn Cầu Là Gì? Những Tác Động Tới Sức Khoẻ Của Biến Đổi Khí Hậu

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hòa hợp ta suy ra: nếu (u=u(x)) là hàm có đạo hàm trên khoảng tầm (J) và thỏa mãn điều kiện (u(x) > 0, ∀x ∈ J) khi (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng tầm ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi khảo sát hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) rứa thể, cần xét hàm số bên trên toàn tập xác minh của nó (chứ chưa hẳn chỉ xét trên khoảng tầm ((0; +∞)) như trên).