Định lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng.

Đã có một mở rộng khá quen thuộc thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực trọng điểm của tam giác.

Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm bên trên đường tròn ngoại tiếp. Là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác. H là trực vai trung phong tam giác. Thế thì thẳng hàng và H thuộc đường thẳng .

 




Bạn đang xem: Định lý simson

*
24 trang
*
haha99
*
*
2050
*
0Download
Bạn sẽ xem 20 trang chủng loại của tư liệu "Chuyên đề Một mở rộng của định lý Simsơn", để mua tài liệu cội về máy bạn click vào nút DOWNLOAD sinh sống trên


Xem thêm: Cấu Trúc Vừa Làm Cái Này Vừa Làm Cái Kia Trong Tiếng Anh, Thành Thạo Cấu Trúc Vừa Vừa Trong Tiếng Anh

Một mở rộng của định lý SimsơnĐịnh lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng.Đã có một mở rộng khá thân quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó trải qua trực trung khu của tam giác.Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm trên đường tròn ngoại tiếp. Là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác. H là trực tâm tam giác. Thế thì thẳng hàng và H thuộc đường thẳng .Có thể thấy rằng sự mở rộng bên trên bao gồm 2 phần: phần mở rộng trực tiếp, đó là sự thẳng hàng được suy ra ngay từ định lý Simsơn; còn phần thứ nhị hoàn toàn khác biệt, đó là đường thẳng trải qua 3 điểm đối xứng thì trải qua trực tâm tam giác.Sự khác biệt đó khiến ta đặt câu hỏi là tại sao lại nghĩ ra điểm trực trung khu tam giác ở đó mà không phải là điểm khác? Trực trọng điểm có quan liêu hệ thế nào với điểm bên trên đường tròn ngoại tiếp và hơn nữa là đối với 3 điểm đối xứng thì có gì đặc biệt?Ta thấy rằng trong sự mở rộng đó đã nói đến các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh tam giác, vậy thì tại sao ko xét đến các điểm đối xứng của H? Gọi 3 điểm đối xứng tương ứng là . Ta hãy xét đường nối 3 điểm ; trong phạm vi kiến thức của chúng ta thì hãy xét đến đường tròn và đường thẳng. Ta thấy rằng đường tròn chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và dĩ nhiên nó trải qua M.Như vậy thì đường tròn trải qua M và đường thẳng lại đi qua H.Nếu như ta gọi đường tròn đi qua 3 điểm đối xứng của 1 điểm qua 3 cạnh tam giác là đường tròn Simsơn và coi đường thẳng Simsơn là trường hợp suy biến của đường tròn Simsơn thì ta có thể nói rằng đường tròn Simsơn của điểm H trải qua điểm M và đường tròn Simsơn của điểm M đi qua điểm H.Ta hãy mở rộng kết quả trên theo hướng đối với 2 điểm bất kỳ, tức là đặt ra bài toán: cho tam giác ABC và 2 điểm M, N. Tìm điều kiện cần và đủ của M và N để đường tròn Simsơn của điểm M đi qua N và ngược lại.Bởi vì bài toán đặt ra với các vị trí bất kỳ của M, N bên trên mặt phẳng và vấn đề vẫn xét liên quan tới điểm thuộc đường tròn nên ở phía trên ta sử dụng góc định hướng để giải quyết. Để đối chọi giản xin được nắm dấu bằng dấu = và bỏ ký hiệu (mod ) sau các biến đổi.Gọi các điểm đối xứng của M, N lần lượt qua BC, CA, AB là và X, Y, Z là hình chiếu của M bên trên 3 cạnh đó tương ứng.Chú ý đến tính đối xứng trục của các đường thẳng qua AC và qua AB thì ta có:suy ra: (*)Biến đổi bên trên ta ko sử dụng điều kiện gì cho nên vì vậy đẳng thức (*) thu được đúng với mọi cặp điểm M, N.Bây giờ giả sử rằng đường tròn Simsơn của điểm M qua điểm N tức là .Ta thấy rằng= (XY, XM) + (XM, XZ)= (AC, MC) + (MB, AB) (vì các tứ giác XMYC và XMZB nội tiếp)=(AC, AB) + (AB, MC) + (MB, AB)=(AC, AB) + (MB, MC)Vậy nếu thì Tương tự để mang lại thì nuốm vào biểu thức (*) ở bên trên ta sẽ thu được điều kiện sau: (MB, MC) + (NB, NC) = 0Tức là (vì M và đối xứng qua BC)Điều đó có nghĩa là .Nhưng vày vai trò bình đẳng giữa các đường tròn cho nên vì thế N cũng phải thuộc 2 đường tròn còn lại. Mà lại liệu các đường tròn đó có điểm chung (đồng quy) xuất xắc không? hơn nữa N còn nằm trên đường tròn (từ giả thiết của ta). Vì thế nếu tồn tại điểm N thì đó là điểm chung của cả 4 đường tròn này.Hãy gọi giao điểm của và là K. Ta có:= (ZY, ZX) + (BC, BM)= (ZY, ZM) + (ZM, ZX) + (BC, BM)= (AC, AM) + (BM, BC) + (BC, BM)= (AC, AM)Từ đó suy ra rằng . Tương tự thì .Như vậy thì 4 đường tròn đồng quy tại K.Trở lại với bài toán chính của chúng ta thì ta thấy điểm N K chính là điểm cần tìm.Chú ý rằng vai trò của điểm M và N là như nhau cho đề xuất điều kiện bên trên cũng phải bình đẳng đối với 2 điểm, tức là M cũng là điểm thông thường của các đường tròn .Vậy điều kiện cần sẽ là: M là điểm bình thường của 4 đường tròn của N và N là điểm phổ biến của 4 đường tròn của M (thực ra chỉ việc 1 vào 2 điểm là vấn đề chung của 4 đường tròn của điểm kia). Điều kiện đủ được suy ra bằng cách biến đổi ngược lại, dựa vào 1 số kết quả trung gian (không phụ thuộc vào vị trí của M và N) thu được ở trên.Để ý là phát biểu bên trên nói rằng M (hay N) là điểm thông thường của 4 đường tròn chứ không phải là điểm bình thường duy nhất, tức là có những trường hợp mà các đường tròn trùng nhau, khi đó sẽ có nhiều cặp điểm thỏa mãn yêu thương cầu đặt ra. Vào trường hợp không suy biến thì đối với mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm N thỏa mãn.Bây giờ ta hãy xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả thu được, đó chính là sự mở rộng được nói đến ban đầu của định lý Simsơn. Trong trường hợp này M là trực trọng tâm H của tam giác. Lúc đó các đường tròn trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì chưng đó với điểm N bất kỳ bên trên (ABC) thì đường thẳng (do đường tròn suy biến thành) sẽ luôn luôn luôn trải qua điểm M là trực trung ương tam giác.Ta thấy rằng ở trên đã xét đến các điểm đối xứng của M, N qua các cạnh của tam giác ABC và các biến đổi của chúng ta đều liên hệ đến đối xứng trục. Một cách tương tự ta sẽ nghĩ đến đối xứng tâm. Và sự “tương tự” khiến ta nghĩ đến việc chọn chổ chính giữa đối xứng là các trung điểm D, E, F của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.Gọi các điểm đối xứng của M, N qua D, E, F lần lượt là , và .Ta hãy xét bài toán giống như trên, tức là tìm điều kiện để nếu thì .Một cách tương tự ta sẽ dùng biến đổi góc định hướng, với chú ý là bởi đối xứng tâm phải , vì chưng đó biểu thức của chúng ra sẽ rất gọn như sau .Lại chú ý thêm rằng các đoạn thẳng tuy vậy song và bằng nhau; cũng tương tự đối với các đoạn thẳng ; cho nên .Từ đó suy ra nếu tức là thì cũng có giỏi M cũng thuộc .Kết luận ta thu được rộng hơn so với bài toán trước rất nhiều, đó là đối với mỗi điểm M thì tập hợp các điểm N thỏa mãn điều kiện bài toán là toàn bộ đường tròn .Như đã nói ở trên, vị vai trò bình đẳng giữa 2 điểm M, N vì thế từ kết luận này ta có thể suy ra 1 bài toán hệ quả như sau: chứng minh rằng các đường tròn đi sang một điểm cố định lúc N di chuyển trên đường tròn (điểm M).Ta thấy kết luận 1-1 giản rộng bài toán trước nhiều, do đó ta sẽ cố tìm mang đến nó 1 chứng minh khác cũng đối chọi giản như kết luận của nó vậy. Hãy chú ý đến các trung điểm, nếu ta vị tự vai trung phong M tỉ số ½ thì đường tròn sẽ trở thành đường tròn (DEF) tức đường tròn Ơle của tam giác ABC. Do đó nếu thì trung điểm của MN sẽ thuộc đường tròn Ơle của tam giác ABC. Kết quả này bình đẳng với M và N vì thế cũng có thể kết luận được M cũng thuộc .Ta cũng thử xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả này, khi cho M trùng với H, lúc đó đường tròn trùng với đường tròn (ABC). Cuối cùng thu được với N bất kỳ trên (ABC).Ở bài toán ban đầu đặt ra, kết quả thu được nhờ vào sự đồng quy của 4 đường tròn. Vậy ở bài toán này điều đó có xảy ra không?Gọi K’ là giao điểm của và . Lúc đó:= (BC, AC) + (MC, BC) (do các đoạn thẳng tuy nhiên song)= (MC, AC)Điều đó có nghĩa là . Tương tự .Vậy 4 đường tròn này cũng đồng quy như trên.Đến phía trên hãy để ý là các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn (cũng tương tự đến 2 bộ 4 điểm còn lại). Do đó trong 4 đường tròn này thì chỉ có thêm 1 đường tròn là mới. Kết hợp với kết quả của bài toán trước thì ta có tất cả 5 đường tròn đồng quy: .Bây giờ nhìn lại 1 cách tổng quát, ta thấy từ M có hạ các đường vuông góc, rồi lại có các trung điểm, điều đó khiến ta nghĩ đến đường tròn Ơle. Nếu dùng phép vị tự trọng tâm M tỉ số ½ thế thì các đường tròn sẽ trở thành các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB; còn đường tròn trở thành đường tròn Ơle của tam giác ABC. Từ kết luận về tính đồng quy của các đường tròn suy ra là các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC đồng quy.Do vị trí của M bất kỳ phải ta phát biểu kết quả trên theo 1 cách đối xứng đẹp đẽ hơn: đến tứ giác ABCD. Lúc đó các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy.Nếu gọi G là trọng trung khu tứ giác thì qua phép đối xứng chổ chính giữa G thì đường tròn Ơle của tam giác BCD trở thành đường tròn trải qua trung điểm của AB, AC, AD. Tương tự đối với 3 tam giác còn lại thì từ trên sẽ có: các đường tròn đi qua trung điểm các đoạn nối từ 1 đỉnh của tứ giác đến 3 đỉnh còn lại đồng quy.Lại áp dụng ngược kết quả này vào bài toán ban đầu đối với điểm M cố cho điểm D. Dùng phép vị tự ngược lại vai trung phong M tỉ số 2 thì sẽ suy ra các đường tròn đồng quy.Sự tương tự khiến ta nghĩ đến sự đồng quy của các đường tròn . Điều này có thể chứng minh như sau:Gọi T là giao điểm của (ABC) và . Lúc đó:= (YZ, AC) + (MA, AC) + (CA, CB)= (MZ, MA) + (MA, BC)= (MZ, BC)= (MZ, ZX) + (ZX, BC)suy ra . Tương tự .Lại chú ý thêm rằng tam giác qua phép vị tự chổ chính giữa M trở thành tam giác hình chiều của M đối với tam giác ABC. Và đường tròn ngoại tiếp tam giác hình chiếu này cũng trải qua điểm đồng quy của 4 đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC. Vì vai trò của các điểm M, A, B, C bình đẳng cần nếu đổi vai trò của điểm M cho bất cứ điểm nào vào 3 điểm A, B, C ta cũng có kết quả như vậy. Vì đó, ta phát biểu lại như sau cho cân đối:Cho tứ giác ABCD. Gọi các đường tròn ngoại tiếp các tam giác hình chiếu của 1 điểm đối với tam giác tạo bởi 3 điểm còn lại lần lượt là . Gọi các đường tròn Ơle của các tam giác tạo bởi 3 điểm lần lượt là . Lúc đó các đường tròn đồng quy.Kết quả bên trên có 1 trường hợp đặc biệt. Đó là khi tứ giác ABCD nội tiếp thì các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại 1 điểm E, điểm này được gọi là điểm Ơle của tứ giác ABCD. Với kết quả mở rộng này chúng ta có thể gọi điểm đồng quy là điểm Ơle đối với tứ giác bất kỳ, ko nhất thiết phải nội tiếp.Cuối cùng xin nêu một nhận xét: sự đồng quy của 8 đường tròn nói bên trên thu được là nhờ phép vị tự trung khu M tỉ số ½, và vày N là điểm đồng quy của 4 vào số 8 đườ ... ờng kính. Call là giao điểm 2 tiếp đường của tại và . Đường tròn giảm tại .CMR: Giao điểm của mặt đường phân giác và con đường thẳng không nhờ vào vào cách chọn .6) cân nặng tại . Là trung khu nội tiếp tam giác.là điểm nằm trê tuyến phố tròn nước ngoài tiếp tam giác và phía bên trong tam giác . Đường thằng qua song song với cùng lần lượt cắt tại và .Đường thằng qua tuy vậy song với lần lượt giảm và tại với .CMR: giao điểm của với nằm trên đường tròn nước ngoài tiếp tam giác .7) Quadrilateral is inscribed in a circle with center . Point is given inside . Let be the circumcenters of triangles , respectively. Prove, that midpoints of segments are collinear.8) cho tam giác với giữa trung tâm . Lấy sao để cho đồng quy trên một điểm . điện thoại tư vấn lần lượt là trung điểm và theo đồ vật tự là trung điểm .1. Minh chứng rằng đồng quy tại một điểm mà lại thẳng hàng.2. Chứng thật vị trí hình học tập của khi(i) là chân cha đường cao của (ii) là chân cha đường phân giác vào của 9) 10) tứ đường tròn sắp xếp trong mặt phẳng làm thế nào để cho . Chứng tỏ rằng các điểm A",B",C",D" đồng viên (hoặc thẳng hàng) khi và chỉ khi những điểm đồng viên (hoặc thẳng hàng)11) cho tam giac ABC nội tiếp (O).Gọi (E) là con đường tròn Euler tam giác ABC.MM" là đường kính của (O).Các đường đối rất của M,M; với (E) cắt nhau sinh sống S.Chứng tỏ S nằm trên phố thẳng vuông góc với OH(H là trực trọng điểm ABC).12)cho tam giác ABC tất cả . Đường tròn nội tiếp tam giác bao gồm tâm với tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại cùng .Các đường thẳng lần lượt giảm đường trực tiếp tại cùng . CMR: 13) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 trong điểm bất kỳ trên BC của tam giác. Các đường tròn thuộc tiếp xúc cùng với (O), thuộc tiếp xúc với đoạn DA với thoe sản phẩm tự xúc tiếp với các đoạn DB, DC. Minh chứng đi qua trung khu đường tròn nội tiếp tam giác ABC14) Trong khía cạnh phẳng P cho một tam giác phần đa ABC. Call A",B",C" theo thứ tự là các hình chiếu trên các đường thẳng BC,CA,AB của 1 điểm M bất kể trên phương diện phẳng và G là trung tâm của . Chứng minh rằng ánh xạ từ 1 phép đổi mới hình của mặt phẳng15) cho nội tiếp trong con đường tròn . Với mỗi , cam kết hiệu để dẫn đường thẳng Simpson của điểm so với tam giác . Xét mặt đường kính đổi khác của . Search quỹ tích giao điểm của với 16) đến tam giác ABC. Các đường cao AH, BK. Các đường phân giác AE, BF. điện thoại tư vấn O, I thứu tự là chổ chính giữa đường tròn nội tiêp ngoại tiếp tam giác ABC. Minh chứng rằng H,I,K thẳng mặt hàng khi còn chỉ khi E,O,F trực tiếp hàng.PHEP NGHICH DAO(17,18,19)17) đến , , nội tiếp . Nằm trong tia đối tia . 1 mặt đường tròn xúc tiếp , tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trên . CMR: 18) mang lại đường tròn trọng tâm . Dựng hai tuyến phố tròn tiếp xúc xung quanh nhau tại cùng tiếp xúc vào . Tiếp tiếp chung ngoại trừ của và giảm ở với . Tiếp tuyến thông thường trong của chúng giảm tại ; và thuộc phía so với . Minh chứng là trung tâm nội tiếp 19)Cho và tiếp xúc trong với nhau tại trên phố tròn ta rước một điểm ngẫu nhiên và kẻ trường đoản cú tới những tiếp tuyến.Gọi là giao điểm của các tiếp con đường vớiTìm quỹ tích chổ chính giữa nội tiếp tam giác 20) Cho hai đường tròn không cân nhau và xúc tiếp nhau tại .Các điểm tương ứng chạy trên sao cho .Đường tròn bên trong tam giác ,tiếp xúc kế bên với 2 mặt đường tròn và tiếp xúc với tại . CMR: điều khiển xe trên 1 mặt đường tròn nạm định.21) đến điểm sống trong tứ giác lồi. Hotline theo thứ tự là hình chiếu của trên những đường thẳng . Xác minh các tứ giác làm thế nào để cho theo thú từ bỏ là hình chiếu của trên những đường trực tiếp với .1. Minh chứng rằng các tứ giác đồng dạng.2. Vào tứ giác đầu tiên, số đông tứ giác làm sao dồngdangj cùng với tứ giác (Chú ý. ~ gồm một phép đồng dạng đổi mới tứ giác này thành tứ giác kia.)22) Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với trên theo lắp thêm tự đó. Gọi tương xứng là trung điểm của những cạnh cùng theo vật dụng tự đối xứng với qua mặt đường phân giác (trong) của những góc . Chứng minh rằng những đường thẳng đồng quy tại một điểm trên tuyến đường tròn .23) cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi là trung khu đường tròn Ơ-le, lấy điểm thỏa mãn . Giả sử rằng trung trực cắt tại , các điểm được khẳng định tương tự. Chứng minh rằng thuộc nằm trên một con đường thẳng vuông góc với .24) mang đến tam giác đa số nội tiếp trong đường tròn . Một mặt đường kính thay đổi của cắt những đường thẳng tại theo trang bị tự đó. Cmr đường thẳng Ơle của những tam giác số lượng giới hạn nên một tam giác đều.25) đến đường tròn . Chứng tỏ rằng tứ giác là vấn đề hòa khi còn chỉ khi vĩnh cửu bốn hình trụ thỏa mãn:1) tiếp xúc 2) tiếp xúc tại 3) tiếp xúc với 26) Đường tròn nội tiếp của tam giác xúc tiếp với tại . Là điểm bất kỳ trong mặt phẳng của tam giác. điện thoại tư vấn là hình chiếu của theo sản phẩm công nghệ tự trên các đường thẳng . Chứng minh rằng mặt đường tròn đi qua trọng tâm các tam giác có 2 lần bán kính bằng 27)Cho điểm M ở đi ngoài đường tròn (O). Kẻ cha đường thẳng sao để cho nằm giữa cùng (A nằm giữa M28) Hãy bao phủ định hoặc xác định mệnh đề " ví như ABCDEF là lục giác lồi có tất cả các cạnh đều nhau thì AD, BE, CF đồng quy29) cho tứ giác nội tiếp con đường tròn và là điểm ngẫu nhiên trong phương diện phẳng. Gọi theo đồ vật tự là tâm những đường tròn .CMR trung điểm của thẳng hàng30) cho tam giác và những đừong tròn thế nào cho tiếp xúc với ;tiếp xúc với và tiếp xúc cùng với ;tiếp xúc với với tiếp xúc với ;tiếp xúc với với tiếp xúc với .Chứng minh rằng 31) Trong mặt phẳng mang đến hai tam giác . Lấy các điểm thế nào cho . Gọi . Chứng minh rằng đồng quy.32) mang lại tứ giác lồi . Lấy đối xứng với qua mặt đường thẳng , đối xứng với qua đường thẳng và đối xứng cùng với qua mặt đường thẳng . Hiểu được . Cmr tứ giác nội tiếp.33) mang đến tam giác nhọn, trực tâm ngoại tiếp mặt đường tròn có . điện thoại tư vấn theo vật dụng tự là trung điểm , . Call là trung ương đường tròn nước ngoài tiếp tam giác . Cmr thẳng hàng 34) Trong mặt phẳng, qua điểm O cho trước, kẻ 2005 mặt đường thẳng phân biệt bất kì . Bên trên mỗi đường thẳng mang một điểm khác O. Chứng minh rằng có thể chọn những điểm sao cho 35) 1/Xác định mặt đường thẳng phân tách đôi chu vi và mặc tích tứ giác?_________________________________PDatK40SP: chúng ta nối 2 cạnh đối lấy ví dụ như và giảm nhau trên đỉnh chẳng hạn thì gọi cát tuyến cắt tại thì và hoàn toàn xác định chúng ta ạ. 2/Xác định tứ giác tất cả cả mặt đường tròn ngoại tiếp cùng nội tiếp ?36) giả dụ là những điểm trực thuộc cạnh của sao cho thì ___________PDatK40SP: chúng ta cũng có thể lấy phân giác kẻ từ đỉnh của và từ những việc và phổ biến nhau mặt đường phân giác đó; chúng ta dùng bí quyết tính khoảng cách đường phân giác để sở hữu phương trình bạn ạ.37) cho và là trung khu đường tròn nước ngoài tiếp và vai trung phong đường tròn nội tiếp của không đều. Tiếp xúc tại .và giảm nhau tại , và giảm nhau trên .là trung điểm đoạn .CMR: .38) Cho hotline là tâm hình vuông nội tiếp tam giác có 2 đỉnh trên ,một đỉnh bên trên ,một đỉnh trên .xác định tương tự.Chứng minh: đồng quy39) mang đến nội tiếp cùng điểm phía trong tam giác. Các tia lần lượt cắt tại . Tìm kiếm tập hợp điểm nhằm có:+ diện tích cho trước.+ Chu vi mang đến trước.Hệ quả: Tìm các điểm nhằm và những điểm nhằm 40) cho tam giác ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp Rlaf nửa đường kính ngoại CMR : >2r41) cho tam giác a) chứng tỏ rằng các đường trung tuyến phân tách tam giác ra thành sáu tam giác nhỏ có các tâm đường tròn nước ngoài tiếp của chúng nằm trên một đường tròn.b) Hãy tìm tất cả các điểm trong khía cạnh phẳng tam giác làm sao cho các con đường và phân chia tam giác ra thành sáu tam giác con, thế nào cho tâm các đường tròn ngoại tiếp của bọn chúng nằm trên một con đường tròn.42) mang lại tam giác gồm . Call là trung điểm . Mang sử . Tính độ lớn các góc của tam giác 43) điểm JEBAREK..Cho tam giác .Gọi là trực trọng tâm và tâm ngoại tiếp ABC.Gọi là chân mặt đường cao hạ tự A,B,C xuống tía cạnh tương ứng. 1) các đường trực tiếp Euler của đồng qui tại điểm gọi là điểm Jebarek cua tam giác ABC.(Jebarek point)Tìm tọa độ rất của J đối với . 2) nằm ở (Đường tròn Euler ) của . 3)Các mặt đường tròn Euler của những tam giác đồng qui ngơi nghỉ J.Nói giải pháp khác 4 mặt đường tròn bao gồm điểm chung. 4)Gọi là trong tim ABC.Ba đường tròn có điểm chung. 5)Với là trung điẻm .Hai đường thảng SimSon của J đối với tam giác và tuy vậy song.44)tiep xucCho tam giác nội tiếp . Đường tròn (") xúc tiếp trong với tại , tiếp xúc với ở .Nhận xét 1: mang lại tam giác . Là con đường tròn bàng tiếp góc . Kế bên đoạn lấy thế nào cho , . CMR: tứ giác với nội tiếp.Chứng minh: gọi S,P,Q là các tiếp điểm của với BC,CA,AB. Bởi vì và là phân giác góc , từ đó là phân giác góc và theo tính chất đối xứng thì suy ra với suy ra:Suy ra nội tiếp. Tương tự nội tiếp.Nghịch đảo ngược lại với trung ương phương tích bất cứ ta có bài toán quen thuộc:Hệ quả 1:Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn tiếp xúc trong với tại . Xúc tiếp với làm việc .Khi đó trung tâm nội tiếp tam giác (điểm ) vị trí .Gọi là phân giác ngoại trừ với thuộc ta tất cả vuông góc cùng với suy ra : nhưng suy ra đồng viên vày đó:Hệ quả 2:Phân giác của trải qua Trước đây hệ trái 2 hay được sử dụng để chứng minh hệ quả 1 và phải dùng đến cách thức trùng không đẹp với gọn. Chứng tỏ trên rõ ràng tự nhiên và dễ hiểu hơn nhiều.Gọi là trung điểm cung không chứa Áp dụng 2 hệ trái trên cho giảm ở . Cắt ở , ta tất cả tam giác đồng dạng cùng với tam giác suy ra suy ra nhưng mà dẫn đến vuông góc cùng với suy ra thuộc mặt đường tròn nhưng cũng thuộc từ kia trùng cùng với (do tam giác ABC ko cân).Hệ trái 3:cắt nghỉ ngơi , lúc đó . Điều này dẫn đến câu hỏi sau:Hệ quả 4:Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn tiếp xúc trong với tại . Tiếp xúc với . Tựa như có . Đường tròn nội tiếp xúc tiếp với sống .CMR: .Hoàn toàn giống như ta tất cả hệ quả sau:Hệ trái 5: đến tam giác nội tiếp . Là mặt đường tròn bàng tiếp góc . Cắt ở (khác ). Xúc tiếp với sinh hoạt . CMR: khi và chỉ còn khi .Chọn điểm S là tâm nghịch hòn đảo ta sẽ thu được hình mẫu vẽ sau:, cắt nhau tại A cùng S . PQ là tiếp tuyến phổ biến ngoài, mặt đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với P,Q cắt ở B, sinh hoạt C. T là điểm đối xứng với A qua trung điểm L của PQ.Trước hết dễ thấy ===Mặt khác, từ đó suy ra rằng tam giác PBT đồng dạng với QTC.Từ kia ((STP),(STB))=((STQ),(STC)).Hệ quả 6:Cho AS giảm PQ sinh hoạt T. CMR: từ bỏ hệ trái 6 ta thu được :Hệ trái 7:SI cắt BC sống W. CMR: TW là phân giác hội chứng minh:==suy ra: .=(*)Ta lại có:..=1(**)Từ (*) và (**) suy ra: == suy ra (K,W,B,C)=-1 suy ra TW là phân giác .1) TWTK với TW//AI2) AW,BQ