Giải bài tập trang 18 bài bác 2 rất trị của hàm số SGK Giải tích 12. Câu 1: Áp dụng nguyên tắc I, hãy tìm các điểm rất trị của hàm số sau:...
Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 trang 18
Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :
a) (y m = m 2x^3 + m 3x^2- m 36x m - m 10) ;
b) (y m = m x^4 + m 2x^2- m 3) ;
c) (y = x + 1 over x)
d) (y m = m x^3left( 1 m - m x ight)^2);
e) (y = sqrt x^2 - x + 1)
Giải:
a) Tập xác định: (D = mathbb R)
(eqalign& y" = 6 mx^2 + 6 mx - 36;y" = 0 cr & Leftrightarrow left< matrixx = 2left( y = - 54 ight) hfill cr x = - 3left( y = 71 ight) hfill cr ight. cr )
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực trị tại (x = -3) và (y)CĐ (= 71)
Hàm số đạt cực tiểu tại (x = 2) với (y)CT (= -54)
b) Tập xác định: (D =mathbb R)
(y" = 4 mx^3 + 4 mx = 4 mxleft( x^2 + 1 ight));
(y" = 0 Leftrightarrow x = 0left( y = - 3 ight))
Bảng đổi mới thiên:
Hàm số có điểm rất tiểu tại (x = 0) cùng (y)CT (= -3)
c) Tập xác định: (D = mathbb R) 0
(eqalign& y" = 1 - 1 over x^2 = x^2 - 1 over x^2;y" = 0 cr & Leftrightarrow x^2 - 1 = 0 Leftrightarrow left< matrixx = 1left( y = 2 ight) hfill cr x = - 1left( y = - 2 ight) hfill cr ight. cr)
Bảng vươn lên là thiên
Hàm số đạt cực đại tại (x = -1), (y)CĐ (= -2)
Hàm số đạt cực tiểu trên (x = 1), (y)CT (= 2)
d) Tập xác minh (D = mathbb R)
( y" = 3 mx^2left( 1 - x ight)^2 - 2 mx^3left( 1 - x ight) )
(= x^2left( 1 - x ight)left( 3 - 5 mx ight))
(eqalign& y" = 0 Leftrightarrow left< matrixx = 1left( y = 0 ight) hfill cr x = 3 over 5left( y = 108 over 3125 ight) hfill cr x = 0 hfill cr ight. cr )
Bảng biến hóa thiên:
Hàm số đạt cực to tại (x = 3 over 5;y = 108 over 3125)
Hàm số đạt cực tiểu trên (x = 1), (y)CT =( 0)
e) bởi vì (x^2) –( x + 1 > 0, ∀ ∈ mathbb R) bắt buộc tập xác định : (D = mathbb R)
(y" = 2 mx - 1 over 2sqrt x^2 - x + 1 ;y = 0 Leftrightarrow x = 1 over 2left( y = sqrt 3 over 2 ight))
Bảng biến chuyển thiên:
Hàm số đạt cực tiểu trên (x = 1 over 2;y_CT = sqrt 3 over 2)
Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng phép tắc II, hãy tìm những điểm cực trị của hàm số sau:
a) (y m = m x^4 - m 2x^2 + m 1) ; (b) y = sin2x – x);
c)(y = sinx + cosx); d)(y m = m x^5- m x^3- m 2x m + m 1).
Giải:
a) (y" m = 4x^3- m 4x m = m 4x(x^2 - m 1)) ;
(y" = 0) (⇔ 4x()(x^2)( - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).
( y"" = 12x^2-4).
(y""(0) = -4 cđ =( y(0) = 1).
(y""(pm 1) = 8 > 0) cần hàm số đạt cực tiểu trên (x = pm1),
(y)ct = (y(pm1)) = 0.
b) (y" = 2cos2x - 1) ; (y"=0Leftrightarrow cos2x=frac12Leftrightarrow 2x=pm fracpi 3+k2pi)
(Leftrightarrow x=pm fracpi 6+kpi .)
(y"" = -4sin2x) .
(y""left ( fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft ( fracpi 3 +k2pi ight )=-2sqrt3cđ =( sin(fracpi 3+ k2π) - fracpi 6 - kπ) = (fracsqrt32-fracpi 6- kπ) , (k ∈mathbb Z).
(y""left ( -fracpi 6 +kpi ight )=-4sinleft (- fracpi 3 +k2pi ight )=2sqrt3>0) nên hàm số đạt cực tiểu tại những điểm (x =-fracpi 6+ kπ),
(y)ct = (sin(-fracpi 3+ k2π) + fracpi 6 - kπ) =(-fracsqrt32+fracpi 6 - kπ) , (k ∈mathbb Z).
c) (y = sinx + cosx )= (sqrt2sinleft (x+fracpi 4 ight ));
( y" )=(sqrt2cosleft (x+fracpi 4 ight )) ;
(y"=0Leftrightarrow cosleft (x+fracpi 4 ight )=0Leftrightarrow)(x+fracpi 4 =fracpi 2+kpi Leftrightarrow x=fracpi 4+kpi .)
(y""=-sqrt2sinleft ( x+fracpi 4 ight ).)
(y""left ( fracpi 4 +kpi ight )=-sqrt2sinleft ( fracpi 4+kpi +fracpi 4 ight ))
(=-sqrt2sinleft ( fracpi 2 +kpi ight ))
(=left{ matrix- sqrt 2 ext trường hợp k chẵn hfill cr sqrt 2 ext giả dụ k lẻ hfill cr ight.)
Do đó hàm số đạt cực to tại những điểm (x=fracpi 4+k2pi),
đạt cực tiểu tại các điểm (x=fracpi 4+(2k+1)pi (kin mathbbZ).)
d) (y" m = m 5x^4 - m 3x^2 - m 2 m = m (x^2 - m 1)(5x^2 + m 2)); (y" m = m 0 Leftrightarrow x^2 - m 1 m = m 0 Leftrightarrow m x m = pm 1).
(y"" m = m 20x^3 - m 6x).
(y""(1) = 14 > 0) phải hàm số đạt rất tiểu tại (x = 1),
(y)ct =( y(1) = -1).
(y""(-1) = -14 cđ = (y(-1) = 3).
Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số (y=sqrtleft ) không bao gồm đạo hàm trên (x = 0) nhưng vẫn đạt rất tiểu tại điểm đó.
Xem thêm: Quy Tắc Chia 2 Lũy Thừa Cùng Cơ Số Và Bài Tập, Chia Hai Lũy Thừa Cùng Cơ Số
Giải:
Đặt (y=f(x)=sqrtleft ). Giả sử (x > 0), ta có :
(undersetx ightarrow 0^+limfracsqrtxx=undersetx ightarrow 0^+limfrac1sqrtx=+infty .)
Do kia hàm số không tồn tại đạo hàm trên (x = 0) . Mặc dù hàm số đạt cực tiểu tại (x = 0) vì (f(x)=sqrt x ight geq 0=f(0),forall xinmathbb R).