Trong chương trình lớp 9, phương trình hàng đầu 2 ẩn có 2 phương pháp để giải, kia là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, có sự khác biệt nào về ưu yếu điểm của 2 phương pháp này.

Bạn đang xem: Giải các hệ phương trình


Trong nội dung bài viết này, chúng ta thuộc tìm hiểu 2 bí quyết giải trên so với phương trình hàng đầu 2 ẩn. Giải các bài tập về hệ phương trình số 1 2 ẩn cùng với từng phương thức cộng đại số và cách thức thế, đồng thời tìm hiểu các dạng toán về phương trình bậc nhất 2 ẩn, từ đó để thấy ưu điểm của mỗi cách thức và áp dụng linh hoạt trong những bài toán thế thể.

I. Tóm tắt kim chỉ nan về phương trình số 1 2 ẩn

1. Phương trình hàng đầu 2 ẩn

- Phương trình hàng đầu hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình số 1 hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn luôn bao gồm vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được màn biểu diễn bởi con đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì con đường thẳng (d) là thứ thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình đổi mới ax = c tốt x = c/a và mặt đường thẳng (d) tuy nhiên song hoặc trùng cùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình thay đổi by = c hay y = c/b và mặt đường thẳng (d) tuy vậy song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn: 

*
 , trong kia a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình hàng đầu hai ẩn

- hotline (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) giảm (d’) thì hệ bao gồm nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ tất cả vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu như chúng tất cả cùng tập nghiệm

II. Cách giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình số 1 2 ẩn bằng phương thức cộng đại số

a) Quy tắc cùng đại số

- Quy tắc cộng đại số cần sử dụng để chuyển đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:

- bước 1: cộng hay trừ từng vế nhị phương trình của hệ phương trình đã mang lại để được một phương trình mới.

- cách 2: dùng phương trình mới ấy sửa chữa thay thế cho một trong những hai phương trình của hệ (và không thay đổi phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

- cách 1: Nhân những vế của nhị phương trình cùng với số phù hợp (nếu cần) làm thế nào để cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ đều nhau hoặc đối nhau.

- cách 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong những số đó có một phương trình mà thông số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

- bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải các hệ PT hàng đầu 2 ẩn khuất phía sau bằng PP cùng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương thức thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc cầm cố dùng để biến hóa một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Luật lệ thế bao hàm hai cách sau:

- cách 1: xuất phát từ một phương trình của hệ đã đến (coi là phương trình thức nhất), ta màn biểu diễn một ẩn theo ẩn tê rồi vậy vào phương trình thức hai sẽ được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- bước 2: dùng phương trình new ấy để sửa chữa thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức duy nhất cũng thường xuyên được thay thế bởi hệ thức màn trình diễn một ẩn theo ẩn kia giành được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- cách 1: sử dụng quy tắc cầm cố để biến hóa phương trình đã đến để được một hệ phương trình mới, trong các số đó có một phương trình một ẩn.

- bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương thức thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một trong những dạng toán phương trình số 1 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương thức thế

* Phương pháp: coi phần tóm tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài xích 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm độc nhất (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm tuyệt nhất (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm nhất (25/19;-21/19)

* thừa nhận xét: Qua bài xích 12 này, những em thấy phương pháp thế đã sử dụng dễ dàng hơn khi 1 trong phương trình của hệ có các hệ số của x hoặc y là 1 trong những hoặc -1. Lúc đó chỉ cần rút x hoặc y ở phương trình bao gồm hệ số là 1 trong những hoặc -1 này và ráng vào phương trình còn lại để giải hệ.

- Đối với các hệ PT trình mà không tồn tại hệ số làm sao của x và y là một trong những hoặc -1 thì bài toán sử dụng phương pháp thế làm cho phát sinh những phân số và việc cộng trừ dễ làm cho ta không nên sót hơn như là bài 13 bên dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm nhất (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tốt nhất (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

* Phương pháp: xem phần nắm tắt lý thuyết

Bài trăng tròn trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải những hệ PT sau bằng PP cùng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* lời giải bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: lấy PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất vô nhị (2;-3)

b)

*

Lưu ý: đem PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm duy nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) với 2 để hệ số của x ở cả 2 PT bằng nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm nhất (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 3, 2 vế PT(2) cùng với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị (5;3)

* dấn xét: lúc không có bất kỳ hệ số như thế nào của x, y là 1 trong những hay -1 thì phương pháp cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn hơn trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- cách 1: Đặt đk để hệ có nghĩa

- cách 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ vẫn đặt (sử dụng pp rứa hoặc pp cùng đại số)

- cách 4: quay trở về ẩn ban sơ để search nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

 Đặt: 

*
 ta có hệ ban sơ trở thành:

 

*

- quay lại ẩn thuở đầu x và y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, yêu cầu hệ gồm nghiệm tuyệt nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 cùng y ≠ 3 (mẫu số khác 0)

 Đặt: 

*
 ta bao gồm hệ ban sơ trở thành:

*

 Trở lại ẩn lúc đầu x với y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, buộc phải hệ gồm nghiệm độc nhất vô nhị (-5/4;6)

Dạng 4: khẳng định tọa độ giao điểm của 2 mặt đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi vì 2 phương trình con đường thẳng sẽ cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 mặt đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 với d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 cùng d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng 1 trong 2 cách thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Xem thêm: Lập Dàn Ý Em Hãy Viết Thư Cho Một Người Bạn Để Bạn Hiểu Về Đất Nước Mình

Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ xuất phát điểm từ 1 phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương thức thế) rồi vậy vào phương trình còn sót lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện các bước biện luận như sau:

- trường hợp a ≠ 0, thì x = b/a; vậy vào biểu thức để tìm y; hệ bao gồm nghiệm duy nhất.

- trường hợp a = 0, ta có, 0.x = b:

_ trường hợp b = 0 thì hệ có rất nhiều nghiệm

_ giả dụ b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- từ bỏ PT(1) ta có: y = mx - 2m, ráng vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* trường hợp m ≠ ±1, ta có: 

*

lúc đó: 

*

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất: 

* nếu m = -1, ráng vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* trường hợp m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ tất cả vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)