Với giải pháp giải các dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số với Giải tích gồm cách thức giải bỏ ra tiết, bài xích tập minh họa có lời giải và bài bác tập từ bỏ luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài bác tập những dạng toán về giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của hàm số và biện pháp giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) giới hạn của hàm số tại một điểm:

* số lượng giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta bảo rằng hàm số f(x) xác minh trên K (có thể trừ điểm x0) có số lượng giới hạn là L lúc x dần dần tới x0 trường hợp với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L tốt f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Giới hạn của hàm số lớp 11

Nhận xét: giả dụ f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần cho tới dương vô rất khi x dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần cho tới âm vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số trên vô cực

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)có số lượng giới hạn là L lúc x→+∞nếu với đa số dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có giới hạn là L lúc x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)có giới hạn dần cho tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) lúc x→+∞nếu với tất cả dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có số lượng giới hạn là dần tới dương hết sức (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài định lý về giới hạn hữu hạn

*

Chú ý:

- những định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí trên ta chỉ vận dụng cho mọi hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho những giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Ví như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) giới hạn một bên

* giới hạn hữu hạn

- Định nghĩa 1: đưa sử hàm số f khẳng định trên khoảng tầm x0;b,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số f có số lượng giới hạn bên yêu cầu là số thực L lúc dần cho x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số bất kì (xn) đều số thuộc khoảng (x0; b) mà lại lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: mang sử hàm số f khẳng định trên khoảng a;x0,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L khi x dần mang lại x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với tất cả dãy bất kì (xn) những số thuộc khoảng chừng (a; x0) nhưng mà lim xn = x0 ta đều phải có lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- nhận xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng vào lúc thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* giới hạn vô cực

- các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phân phát biểu tương tự như như định nghĩa 1 và có mang 2.

- dìm xét: các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu gắng L vị +∞ hoặc-∞

2. Những dạng bài xích tập

Dạng 1: số lượng giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- nếu f(x) là hàm số sơ cấp khẳng định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng phép tắc về giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: số lượng giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa gồm số mũ mập nhất

- Áp dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp

Cho bố hàm số f(x), g(x), h(x) khẳng định trên K chứa điểm x0 (có thể những hàm đó không khẳng định tại x0). Nếu như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) bởi vì hai hàm số g(x) và h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị ngăn của hàm số lượng giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta so với f(x) và g(x) sao cho xuất hiện nay nhân tử phổ biến là (x – x0)

Định lí: Nếu nhiều thức f(x) bao gồm nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* nếu như f(x) và g(x) là những đa thức thì ta so với f(x) = (x – x0)f1(x) với g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), trường hợp giới hạn này có dạng 00thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: nếu tam thức bậc nhị ax2 + bx + c tất cả hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* nếu f(x) và g(x) là những hàm cất căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để gửi về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* trường hợp f(x) với g(x) là các hàm đựng căn thức không ngang hàng ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử cùng mẫu đến xn với n là số mũ cao nhất của thay đổi ở chủng loại (Hoặc phân tích các kết quả chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa đổi thay x trong lốt căn thì gửi xk ra bên ngoài dấu căn (Với k là mũ tối đa của thay đổi x trong vết căn), sau đó chia tử với mẫu mang lại lũy thừa tối đa của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- nếu biểu thức chứa phát triển thành số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

- nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và mang về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng luật lệ tính giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: đến hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: kiếm tìm tham số m để hàm số bao gồm giới hạn ở 1 điểm cho trước

Phương pháp giải:

Sử dụng thừa nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có giới hạn tại x = x0 mang lại trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Search m.

Khi kia với m vừa tra cứu được, hàm số có giới hạn tại x = x0 đến trước và giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: cho hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với giá trị làm sao của a thì hàm số đã mang đến có giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số nhằm tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài xích tập từ luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A. -2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1bằng

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7bằng

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý giá của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Làm Sao Để Đến Trường Thcs Lê Minh Xuân, Trường Thcs Lê Minh Xuân

ko tồn tại

Câu 15. Tìm những giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có giới hạn tại x = 0.