Hệ phương trình sang trọng là một dạng hệ phương trình thường chạm chán trong chương trình Toán 9 và Toán 10. Vậy hệ phương trình đẳng cấp là gì? tư tưởng về hệ phương trình đẳng cấp bậc 2? cách giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Trong nội dung nội dung bài viết dưới đây, firmitebg.com sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ thể này nhé!




Bạn đang xem: Hệ đẳng cấp bậc 2

Hệ phương trình quý phái là gì?

Hệ phương trình sang trọng là hệ tất cả ( 2 ) phương trình ( 2 ) ẩn cơ mà ở từng phương trình thì bậc của từng ẩn là bẳng nhau :


(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) với ( f,g ) là các hàm số có bậc của hai biến hóa ( x;y ) bởi nhau

Ví dụ:

(left{eginmatrix x^2+3xy-2y^2=3\ x^2-xy+y^2=4 endmatrix ight.)

Ở ví dụ như trên thì đây là hệ phương trình sang trọng bậc ( 2 )

*

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Bài toán: Giải phương trình

(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) với ( f,g ) là các hàm số bao gồm bậc của hai vươn lên là ( x;y ) bằng nhau

Nhìn thông thường để giải phương trình phong cách thì bọn họ tiến hành công việc sau đây:

Bước 1: Nhân phương trình bên trên với ( a_2 ) cùng phương trình dưới với ( a_1 ) rồi trừ nhị phương trình để gia công mất thông số tự doBước 2: Đặt ( x=ky ). Nuốm vào phương trình ở bước 1 ta được phương trình tất cả dạng :( y^n(Ak^2+Bk+C) =0 )Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia hai trường hòa hợp (left<eginarrayl y=0\y eq 0 endarray ight.). Với trường đúng theo ( y eq 0 ) thì giải ra ( k )Bước 4: cố gắng ( x=ky ) vào một trong hai phương trình, giải ra ( y ) rồi từ đó giải ra ( x )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ x^2-2xy+y^2=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Phương trình vẫn cho tương đương với :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ 3x^2-6xy+3y^2=3 endmatrix ight.)

Trừ hai vế hai phương trình ta được :

( 2x^2+4y^2-6xy =0 )

Đặt ( x=ky ). Chũm vào phương trình trên ta được :

( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 )

(Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 ;;;;; (1) )

Trường hợp ( y=0 )

Thay vào hệ ta được:

(left{eginmatrix x^2=3\ x^2=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( loại )

Trường hòa hợp ( y eq 0 )

Từ phương trình ( (1) Rightarrow k^2+3k-2 =0 )

 (Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\ k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) cố vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 0=3\0=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( các loại )

Nếu ( k=2 ) cầm vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 3y^2=3\y^2=1 endmatrix ight. Leftrightarrow y^2=1 Leftrightarrow y=pm 1)

Vậy hệ phương trình đang cho có hai cặp nghiệm là ( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) )

Giải hệ phương trình quý phái bậc 2 

Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc ( 2 ) là hệ phương trình gồm dạng :

(left{eginmatrix a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 endmatrix ight.)

Đây là dạng toán thường gặp gỡ trong phần hệ phương trình đẳng cấp lớp 9 thi tuyển sinh THPT. Để giải dạng bài xích này thì kế bên cách trên ta có thể sử dụng một cách khác ví như sau :

Bước 1: Từ nhì phương trình, nhân hệ số tương thích để thông số của ( x^2 ) ở nhị phương trình là bởi nhau:Bước 2: Trừ nhị vế của nhị phương trình, ta được phương trình dạng :( Ay^2+Bxy=C )(Rightarrow x=fracC-Ay^2By)Bước 3: Thay vào trong 1 trong nhị phương trình rồi giải tìm ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ x^2+xy-3y^2=3 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình đang cho tương đương với :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ 2x^2+2xy-6y^2=6 endmatrix ight.)

Trừ nhì vế hai phương trình ta được :

( 5y^2-3xy =2 )

Nếu ( y=0 ) nắm vào hệ phương trình đã mang lại ta được:

(left{eginmatrix 2x^2=8\x^2=3 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Nếu ( y eq 0 ) thì ta có:

(x= frac5y^2-23y)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

(2.(frac5y^2-23y)^2-y.frac5y^2-23y-y^2=8)

(Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2)

(Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0)

(Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl y^2=4\y^2=frac113 endarray ight.)

Thay vào ta được : hệ phương trình đang cho bao gồm ( 4 ) cặp nghiệm :

((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-frac1112197;frac113);(frac1112197;-frac113))

Hệ phương trình phong cách lớp 10 

Trong công tác toán 10 thì việc hệ phương trình sẽ nâng cấp hơn, yên cầu học sinh cần phải có thêm một vài ba kĩ năng biến hóa để xử lý.

Dạng bài biến đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp

Trong những bài toán này, hệ phương trình lúc đầu bài toán đưa ra sẽ chưa hẳn là những phương trình đẳng cấp. Nhưng bọn họ sẽ biến chuyển đổi, đặt ẩn phụ để đưa hệ sẽ cho thay đổi hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2+2y=9\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 endmatrix ight.)

Cách giải:

Ta sẽ thay đổi để chuyển phương trình bên trên về dạng phương trình đẳng cấp

Phương trình sẽ cho tương tự với :

(left{eginmatrix x^2-(y^2-2y+1)=8\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-(y-1)^2=8\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 endmatrix ight.)

Đặt ( z=y+1 ), phương trình vẫn cho biến đổi :

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-z^2=8\ x^2+xz+z^2=13 endmatrix ight. ;;;;; (1) )

Đây là phương trình phong cách bậc ( 2 ) với hai ẩn ( x;z )

Hệ phương trình trên tương đương với :

(Leftrightarrow left{eginmatrix 13x^2-13z^2=104\ 8x^2+8xz+8z^2=104 endmatrix ight.)

Trừ hai vế của nhì phương trình ta được :

(5x^2-8xz-21z^2=0)

Đặt ( x=tz ). Núm vào ta được :

( z^2(5t^2-8t-21) =0 )

Nếu ( z=0 ) chũm vào hệ ( (1) ) ta được :

(left{eginmatrix x^2=8\ x^2=13 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( loại )

Nếu ( z eq 0 ) thì ta có :

( 5t^2-8t-21 =0 )

(Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl t=3\t=-frac57 endarray ight.)

Nếu ( t=3 ) , cầm vào ta được :

(8z^2=8 Leftrightarrow z= pm 1)

(left<eginarrayl z=1 Rightarrow x=3; y=2\ z=-1 Rightarrow x=-3; y=0endarray ight.)

Nếu ( t=-frac57 ) rứa vào ta được :

(-frac2449z^2=8Leftrightarrow z^2=-frac493Rightarrow) vô lý ( loại )

Vậy hệ phương trình sẽ cho bao gồm hai cặp nghiệm là ( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) )

Dạng bài bác hệ phương trình gồm một phương trình đẳng cấp

Đây là hồ hết hệ phương trình mà trong những số đó có một phươn trình có dạng ( f(x;y) =0 ) với ( f ) là phương trình hai ẩn ( x;y ) bao gồm bậc bởi nhau

Để giải việc này thì tự phương trình đẳng cấp và sang trọng đó, họ đặt ( x=ky ), giải ra ( k ) rồi cố vào phương trình trang bị hai, tìm ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x^2-3xy+2y^2=0\ sqrt5x-y-x=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( y leq 5x )

Dễ thấy giả dụ ( y=0 ) thì hệ phương trình đã mang lại vô nghiệm. Vậy ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ). Nạm vào phương trình trước tiên ta được :

( y^2(k^2-3k+2) =0 )

Do ( y eq 0 ) buộc phải (Rightarrow k^2-3k+2=0)

(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) cố kỉnh vào phương trình bên dưới ta được :

(2y-y=1Leftrightarrow y=1) với ( x=1 )

Nếu ( k=2 ) thay vào phương trình bên dưới ta được :

(3y-2y=1Leftrightarrow y=1) và ( x=2 )

Vậy phương trình đã cho gồm hai cặp nghiệm ( (x;y) = (1;1) ; (2;1) )

Dạng bài bác hệ phương trình bao gồm tích hai vế đẳng cấp

Đây là phần đông hệ phương trình gồm dạng:

(left{eginmatrix f_1(x;y)=f_2(x;y)\g_1(x;y)=g_2(x;y) endmatrix ight.) cùng với ( f_1;f_2;g_1;g_2 ) là các hàm số sang trọng thỏa mãn:

Bậc của ( f_1.g_1 ) bằng bậc của ( f_2.g_2 )

Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ và để được một phương trình đẳng cấp:

( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) )

Đến phía trên ta đặt ( x=ky ), gắng vào giải ra ( k ). Sau đó thay ( k ) vào hệ phương trình thuở đầu giải ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3-2x-y=0 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương tự với :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3=2x+y endmatrix ight.)

Nhân chéo cánh hai vế của hệ phương trình ta được :

( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) )

(Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0)

Dễ thấy trường hợp ( y=0 ) thì hệ đã mang lại vô nghiệm. Vậy nên ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ) . Nuốm vào phương trình trên ta được :

( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 )

Do ( y eq 0 ) yêu cầu ( k^3-3k^2-3k+5=0 )

(Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 Leftrightarrow left<eginarraylk=1 \ k=1-sqrt6\ k=1+sqrt6endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) nắm vào ta được:

(3y^2=3 Leftrightarrow y^2=1 Rightarrow x=y=1) hoặc ( x=y=-1 )

Nếu ( k=1-sqrt6 ) cầm cố vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt2+sqrt3=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt2+sqrt3sqrt3)

Vậy ta bao gồm hai cặp nghiệm :

((x;y)= (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6))

Nếu ( k=1+sqrt6 ) cố kỉnh vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt3-sqrt2=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt3-sqrt2sqrt3)

Vậy ta tất cả hai cặp nghiệm:

((x;y)= (frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6))

Vậy phương trình đã cho gồm 6 cặp nghiệm thỏa mãn:

( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6);(frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6) )

Bài viết trên phía trên của firmitebg.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các cách thức giải hệ phương trình đẳng cấp.

Xem thêm: Văn Mẫu Lớp 12: Phân Tích Bài Vợ Chồng A Phủ Hay Nhất, Top 18 Bài Phân Tích Vợ Chồng A Phủ Siêu Hay

Mong muốn những kiến thức và kỹ năng trong nội dung bài viết sẽ góp ích cho mình trong quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn học tốt!.

Tu khoa lien quan:

giải phương trình quý phái lớp 9phương trình đẳng cấp bậc 2 lớp 10dấu hiệu phân biệt hệ phương trình đẳng cấp