Bạn muốn giải được những bài toán tương quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông thì chúng ta cần nắm rõ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của nhì bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhị lập phương cùng hiệu nhị lập phương. Để bài viết liên quan về những hằng đẳng thức này, bọn họ cùng khám phá qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Hiệu hai lập phương


Công thức 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

*


1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bởi bình phương của số đầu tiên cộng hai lần tích của số trước tiên và số đồ vật hai, sau đó cộng cùng với bình phương của số sản phẩm hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta tất cả x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bởi bình phương của số trước tiên trừ đi nhị lần tích của số trước tiên và số thứ hai, tiếp nối cộng cùng với bình phương của số lắp thêm hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của nhị bình phương

Hiệu nhì bình phương nhị số bởi tổng hai số đó, nhân cùng với hiệu nhì số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng nhị số bằng lập phương của số trang bị nhất, cùng với tía lần tích bình phương số đầu tiên nhân số sản phẩm công nghệ hai, cùng với ba lần tích số trước tiên nhân cùng với bình phương số sản phẩm hai, rồi cộng với lập phương của số đồ vật hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu hai số bởi lập phương của số lắp thêm nhất, trừ đi bố lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số lắp thêm hai, cộng với tía lần tích số thứ nhất nhân cùng với bình phương số sản phẩm hai, tiếp đến trừ đi lập phương của số đồ vật hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng hai lập phương

 Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu thốn của hiệu nhì số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhì lập phương

Hiệu của nhị lập phương của hai số bởi hiệu nhì số kia nhân với bình phương thiếu của tổng của nhị số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu nhì lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta bao gồm : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức lưu niệm trên thì bọn họ còn bao gồm hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường thực hiện trong khi biến hóa lượng giác chứng tỏ đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ trái tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài bác tập 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá bán trị của những biểu thức.

Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Lời giải.

Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2: chứng minh biểu thức A mà lại không dựa vào biến.

Ví dụ: chứng tỏ biểu thức sau không dựa vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không dựa vào vào trở thành x.

Dạng 3: Áp dụng nhằm tìm giá bán trị bé dại nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị bé dại nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta tất cả : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với đa số x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

Vậy giá trị nhỏ dại nhất của A = 4, lốt “=” xẩy ra khi : x – 1 = 0 xuất xắc x = 1

⇒ tóm lại GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: chứng minh đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá bán trị lớn số 1 của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta tất cả : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với tất cả x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với đa số x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 vết “=” xẩy ra khi : x – 2 = 0 tuyệt x = 2

⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: minh chứng bất đẳng thức

Ví dụ: minh chứng đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối cùng với dạng toán này bọn chúng ta đổi khác VT = VP hoặc VT = A cùng VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích nhiều thức thành nhân tử.

Xem thêm: Góp Ý Dự Thảo Chương Trình Giáo Dục Phổ Thông Cấp Tiểu Học, 5 Góp Ý Từ Góc Độ Chuyên Viên Chỉ Đạo Tiểu Học

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 tất cả dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm quý hiếm của x

Ví dụ:Tìm quý hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng cùng với những kiến thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng bài tập thường chạm mặt mà công ty chúng tôi vừa share có thể khiến cho bạn áp dụng vào bài tập nhé