Gắn hệ trục toạ độ vào hình không gian để giải toán đôi khi là vẻ ngoài vô cùng hữu ích đối cùng với những việc khó trong ko gian. Mặc dù nhiên, việc gắn trục toạ độ thế nào để thuận tiện tìm được toạ độ các điểm vào hình thì đối với nhiều học sinh cũng tương tự giáo viên nhiều khi trở lên phức tạp.

Bạn đang xem: Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Phức tạp ở đây là khi dạy học sinh gắn toạ độ trong không gian, giáo viên nỗ lực hướng dẫn học viên gắn trục Oz vào mặt đường cao của hình chop cũng như khối trụ. Điều này là hết sức thừa thãi và không yêu cầu thiết, vì trục Oz lại là trục ko dung đến lúc giải theo phương thức này.

Chúng tôi giới thiệu với các em học sinh và giáo viên phương thức gắn toạ độ vô cùng dễ dàng và hiệu quả trong tính toán trong đó thậm chí còn không buộc phải vẽ trục Oz vào hình.

Bước 1: chọn hệ trục toạ độ (Oxyz)

Chọn Ox với Oy là 2 con đường vuông góc với nhau sống đáy, O là giao của nó: bài toán này vô cùng dễ dàng và đơn giản bởi hồ hết đáy đều rất có thể chọn được, ví dụ điển hình như:

§ Tam giác: lắp vào mặt đường cao cùng cạnh lòng tương ứng

§ Hình chữ nhật, vuông: đã tích hợp 2 cạnh

§ Hình thoi: đã nhập vào 2 đường chéo

§ Hình thang vuông: đã nhập vào 2 cạnh góc vuông

Oz không cần vẽ vào: nếu như vẽ thì nó kẻ từ O và song song với con đường cao.

Bước 2: khẳng định toạ độ những điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một vài điểm buộc phải thiết)

Liệt kê toạ độ các điểm sinh sống đáy: Vô cùng dễ dãi vì ta trả toàn thống trị hình dạng và form size đáy.

Tìm toạ độ các điểm trên cao, lơ lửng: đưa ra quyết định bởi toạ độ chân con đường cao H

§ đưa sử toạ độ H(a;b;0) đã tìm được ở đáy

§ Thì toạ độ đỉnh S (hoặc điểm bao gồm H là hình chiếu) là S(a;b;h) với h là đường cao của hình chop hoặc trụ đang phải kiếm được trước đó

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán

Các dạng toán thường gặp:

· Độ nhiều năm đọan thẳng

· khoảng cách từ điểm đến lựa chọn mặt phẳng

· khoảng cách từ điểm đến chọn lựa đường thẳng

· khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng

· Góc giữa hai tuyến đường thẳng

· Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

· Góc thân hai khía cạnh phẳng

· Thể tích khối đa diện

· diện tích thiết diện

· chứng minh các quan tiền hệ song song , vuông góc

· câu hỏi cực trị, quỹ tích

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Hình chóp tam giác

Dạng 1. Dạng tam diện vuông

Ví dụ 1: cho hình chóp (O.ABC) bao gồm (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng đôi một. điện thoại tư vấn (M) là điểm thắt chặt và cố định thuộc tam giác (ABC) có khoảng cách lần lượt đến các (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight))(1), (2), (3). Quý hiếm (a,b,c) để thể tích khối chóp (O.ABC)nhỏ duy nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a; m 0; m 0 ight)), (Bleft( 0; m b; m 0 ight)), (Cleft( 0; m 0; m c ight)).

(dleft< M, m left( OAB ight) ight> m = m 3)( Rightarrow )(z_M = 3). Tương tự như ( Rightarrow )(Mleft( 1;,,2;,,3 ight)).

PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). Vì(M in (ABC)) Þ(frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).

(V_O.ABC = frac16abc) (2).

((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27).

(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).

Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)

Dạng 2. Dạng tứ diện tất cả một cạnh vuông góc một phương diện tại góc nhọn của tam giác vuông

Ví dụ 2: Tứ diện (S.ABC) có cạnh (SA) vuông góc với đáy và (Delta ABC) vuông tại (C). Độ dài của những cạnh (SA = 4), (AC = 3), (BC = 1). điện thoại tư vấn (M) là trung điểm của cạnh (AB), (H) là vấn đề đối xứng của (C) qua (M). Tính góc(alpha ) là góc phẳng nhị diện (left< H,,SB,,C ight>) (tính mang lại độ, phút, giây)

(alpha = 82^o35"57""). B. (alpha = 97^o24"2""). C. (alpha = 63^o30"). D. (alpha = 15^o14"13"").

Hướng dẫn giải

*

Cách 1:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như hình vẽ: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( 1;,3;,0 ight)); (Cleft( 0;,3;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,4 ight)) cùng (Hleft( 1;,0;,0 ight))

Dựng mp(left( p. ight)) qua (H) vuông góc (SB) tại (I) giảm đường thẳng (SC) trên (K), thường thấy (left< H,,SB,,C ight>)=(left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight))(1)

* tìm kiếm toạ độ véc tơ

·(overrightarrow SB = left( 1;,3;, - 4 ight)) với (overrightarrow SC = left( 0;,3;, - 4 ight)),

* Phương trình tham số đường thẳng (SB:left{ eginarraylx = 1 + t\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), (SC:left{ eginarraylx = 0\y = 3 + 3t\z = - 4tendarray ight.), phương trình mp (left( p. ight):x + 3y - 4z - 1 = 0)

* kiếm tìm toạ độ giao điểm (I = SB cap left( p. ight)) cùng (K = SC cap left( phường ight))Þ(Ileft( frac1726;frac5126;frac1813 ight)) , (Kleft( 0;frac5126;frac1813 ight)). Toạ độ véctơ (overrightarrow IH = left( frac926; - frac5126; - frac1813 ight)), (overrightarrow IK = left( - frac1726;0;0 ight)).

·(cos alpha = cos left< H,,SB,,C ight> = cos left( overrightarrow IH ,overrightarrow IK ight) = fracoverrightarrow IH .overrightarrow IK overrightarrow IK ight) =(frac - frac153676frac3sqrt 442 26.frac1726 approx - 0.1427)

·(alpha = 98^o12"13"")

Cách 2:

- gắn Ox = CA, Oy = CB. Không buộc phải Oz thì ta bao gồm ngay (C(0;0;0)); A(3;0;0); B(0;1;0). Bao gồm h = 4 với A là chân mặt đường cao phải S(3;0;4).

- H đối xứng với C qua M đề xuất H = B + A – C = (3;1;0).

- hiện giờ ta thấy rõ phát minh của bí quyết đặt này. Trục Oz không tồn tại vai trò gì mà là độ cao h. Độ cao h ta đề nghị tính được mặc dầu ta tất cả làm theo phương pháp gắn toạ độ xuất xắc không.

Dạng 3. Dạng hình chóp tam giác rất nhiều (S.ABC):

Giả sử cạnh tam giác đều bằng (a) và con đường cao bởi (h). Gọi (O) là trọng điểm tam giác số đông (ABC).

Cách 1:

Trong (mpleft( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc cùng với (OA). Đặt (SO = h), lựa chọn hệ trục tọa độ như hình mẫu vẽ ta được:

(Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0;0;h ight)). Suy ra toạ độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight))

*

Cách 2:

- lắp Ox = IA, Oy = IB thì thuận lợi liệt kê toạ độ các điểm bên dưới đáy, hết sức đẹp với là những số nguyên: (A(fracsqrt 3 a2;0;0)); (B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là giữa trung tâm tam giác ABC buộc phải (O(fracsqrt 3 a6;0;0))

- tất cả O là hình chiếu của S đề xuất (S(fracsqrt 3 a6;0;h)): Rõ rang ta đâu phải đến Oz !!!

2. Hình chóp tứ giác

Dạng 1. Hình chóp (S.ABCD) tất cả cạnh (SA ot left( ABCD ight)) và đáy (ABCD) là hình vuông (hoặc hình chữ nhật): Ta lựa chọn hệ trục toạ độ như dạng tam diện vuông

*

Chọn như hình vẽ là dễ dãi nhất

Dạng 2. Hình chóp tứ giác mọi (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình vuông (hoặc hình thoi) trung ương (O) và bao gồm đường cao (SO ot left( ABCD ight)):

Ta chọn hệ trục toạ độ: Tia (OA), (OB), (OS) theo thứ tự là (Ox), (Oy), (Oz). Giả sử số đo (SO = h), (OA = a), (OB = b) thì ta có toạ độ (Oleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( a;,0;,0 ight)), (Bleft( 0;,b;,0 ight)), (Sleft( 0;,0;,h ight)) Þ(Cleft( - a;,0;,0 ight)), (Dleft( 0;, - b;,0 ight)).

*

Dạng 3. Hình chóp (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình chữ nhật và có cạnh (AB = b), tam giác (SAD) số đông cạnh (a) với mp(left( SAD ight) ot left( ABCD ight))

*

Cách 1: lắp toạ độ như hình vẽ. Đây là cách nỗ lực gắn vào chân đường cao để có Oz.Ta hotline (H)là trung điểm (AD), trong (left( ABCD ight)) ta vẽ tia (Hy ot AD). Ta chọn hệ trục toạ độ (Hxyz): (Hleft( 0;,0;,0 ight)), (Aleft( fraca2; m0;0 ight)), ( mBleft( fraca2; mb;0 ight)), ( mCleft( - fraca2; mb;0 ight)), ( mDleft( - fraca2; m0;0 ight)), ( mSleft( 0; m0;fracasqrt 3 2 ight))

Cách 2:

- đính Ox=DC; Oy=DA như hình thì D(0;0;0), C(b;0;0) ; A(0;a;0); B(b;a;0); (H(0;fraca2;0)) vày là trung điểm DA.

- H là hình chiếu của S và đường cao chóp là (fracasqrt 3 2) đề nghị (S(0;fraca2;fracasqrt 3 2))

3. Hình lăng trụ đứng

Dạng 1. Hình lập phương (ABCD.A"B"C"D") cạnh bằng (a):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;a;0)), ( mD(0;a m;0)); (A"(0;0;a)), (B"(a;0;a)), (C"(a;a;a)), ( mD"(0;a m;a m))

*

Dạng 2. Hình hộp chữ nhật (ABCD.A"B"C"D") cạnh(AB = a), (AD = b), (AA" = c):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (A(0;0;0)), (B(a;0;0)), (C(a;b;0)), (D m(0;b m;0)); (A"(0;0;c)), (B"(a;0;c)), (C"(a;b;c)), (D" m(0;b m;c))

*

Dạng 3. Hình hộp đứng đáy hình thoi (ABCD.A"B"C"D"):

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: cội trùng cùng với giao điểm (O) của hai đường chéo (AC), (BD); nhì trục (Ox,Oy) lần lượt cất hai đường chéo cánh của hình thoi, trục (Oz) đi qua tâm hai đáy.

*

B. BÀI TẬP CÓ GIẢI

Câu 1: mang lại tứ diện (ABCD) có những cạnh (AB,AC,AD) vuông góc nhau từng đôi một, tất cả độ lâu năm (AB = 3), (AC = AD = 4). Tính khoảng cách (d) từ bỏ điểm (A) mang đến mặt phẳng (left( BCD ight))

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Dleft( 4;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,4;,0 ight)); (Bleft( 0;,0;,3 ight))

* search phương trình mặt phẳng (left( BCD ight)): (fracx4 + fracy4 + fracz3 = 1)hay (3x + 3y + 4z - 12 = 0)

* Tính khoảng cách (d)= (dleft< A,left( BCD ight) ight>) =(fracsqrt 3^2 + 3^2 + 4^2 = frac6sqrt 34 17)

Câu 2: mang đến tứ diện (ABCD)(AD) vuông góc với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)) cùng (AD = a), gồm tam giác (ABC) vuông trên (A)(AC = b), (AB = c). Tính diện tích (S) của tam giác (BCD) theo (a,b,c).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( c;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,b;,0 ight)); (Dleft( 0;,0;,a ight))

* tra cứu toạ độ véc tơ

· Cạnh của tam giác (BCD): (overrightarrow BC = left( - c;,b;,0 ight)), (overrightarrow BD = left( - c;,0;,a ight))

· Véctơ tích được đặt theo hướng (left< overrightarrow BC ;overrightarrow BD ight> = left( ab;,ac;,bc ight))

* sử dụng công thức tính diện tích tam giác

·(S_BCD = frac12left| ,left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight>, ight|) =(frac12sqrt a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 )

Câu 3: đến tứ diện (O.ABC) có những tam giác (OAB), (OBC), (OCA) gần như là tam giác vuông trên đỉnh (O). điện thoại tư vấn (alpha m , eta m , gamma ) theo thứ tự là góc phù hợp bởi các mặt phẳng (left( OBC ight)), (left( OCA ight)), (left( OAB ight)) với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)). Tra cứu hệ thức lượng giác liên hệ giữa (alpha m , eta m , gamma ).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O(0;0;0)); (A(a;0;0)); (B(0;b;0)); (C(0;0;c)).

(overrightarrow AB = left( - a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( - a;,,0;,,c ight))

* tra cứu vectơ pháp con đường của

·Mặt phẳng (left( ABC ight)): (overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left( bc;,,ca;,,ab ight))

·Mặt phẳng (left( OBC ight)): (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vì: (Ox ot (OBC)))

·Mặt phẳng (left( OCA ight)): (overrightarrow j = left( 0;,,1;,,0 ight)) (vì: (Oy ot (OCA)))

·Mặt phẳng (left( OAB ight)): (overrightarrow k = left( 0;,,0;,,1 ight)) (vì: (Oz ot (OAB)))

* sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

·(cos alpha = cos left< left( OBC ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos alpha = fracsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

·(cos eta = cos left< left( OCA ight),left( ABC ight) ight>)Þ(cos eta = fracsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

·Þ(cos gamma = fracsqrt b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 )

* đổi khác và kết luận(cos gamma = cos left< left( OAB ight),left( ABC ight) ight>)

·(cos ^2alpha = fracb^2c^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

·(cos ^2eta = fracc^2a^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

·(cos ^2gamma = fraca^2b^2b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2)

Vậy (cos ^2alpha + cos ^2eta + cos ^2gamma = 1)

Câu 4: mang lại hình chóp (SABC) bao gồm đáy (ABC) là tam giác vuông cân với(AB = AC = a), tất cả (SA)vuông góc với phương diện phẳng (left( ABC ight)) cùng (SA = fracasqrt 2 2). Tính góc (varphi ) thân hai phương diện phẳng (left( SAC ight)) cùng (left( SBC ight))

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).

* tra cứu vectơ pháp tuyến đường của

·Mặt phẳng .(left( SAC ight)).: (overrightarrow i = left( 1;,,0;,,0 ight)) (vì (Ox ot (SAC)))

·Mặt phẳng (left( SBC ight)): có cặp véc tơ chỉ phương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight)), (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þvéc tơ pháp đường là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) tuyệt là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))

* Tính góc thân hai khía cạnh phẳng (left( SAC ight)) với (left( SBC ight))

(cos varphi = fracleft overrightarrow i ight = frac12)Þ(varphi = 60^o).

Câu 5: mang đến hình chóp (SABC) tất cả đáy (ABC) là tam giác vuông cân nặng với(AB = AC = a), có (SA)vuông góc với khía cạnh phẳng (left( ABC ight)) cùng (SA = fracasqrt 2 2). Tính khoảng cách (d) giữa hai tuyến phố thẳng (AI) cùng (SC), cùng với (I) là trung điểm cạnh (BC).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc (Oxyz)như sau: (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (Bleft( a;,0;,0 ight)); (Cleft( 0;,a;,0 ight)); (Sleft( 0;,0;,fracasqrt 2 2 ight)).

(overrightarrow AB = left( a;,,b;,,0 ight)), (overrightarrow AC = left( 0;a;0 ight))

* kiếm tìm vectơ pháp con đường của

·Mặt phẳng (left( SAC ight)): (overrightarrow i = left( 1;0;0 ight)) (vì (Ox ot (SAC)))

·Mặt phẳng (left( SBC ight)): có cặp véc tơ chỉ phương (overrightarrow SB = left( a;0; - fracasqrt 2 2 ight);overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight))Þ véc tơ pháp tuyến đường là (left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight> = left( fraca^2sqrt 2 2;fraca^2sqrt 2 2;a^2 ight)) giỏi là (overrightarrow n = left( 1;,1;,sqrt 2 ight))

* Tính khoảng cách (d) giữa hai tuyến phố thẳng (AI)(SC)

· vày I là trung điểm của BC Þ(Ileft( fraca2;fraca2;0 ight))nên ta có:(overrightarrow AI = left( fraca2;fraca2;0 ight)) , (overrightarrow SC = left( 0;a; - fracasqrt 2 2 ight)), (left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> = left( - fraca^2sqrt 2 4;fraca^2sqrt 2 4;fraca^22 ight)), (overrightarrow AS = left( 0;0;fracasqrt 2 2 ight))Þ(left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight>.overrightarrow AS = fraca^3sqrt 2 4) , cơ mà (left| left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight> ight| = sqrt fraca^48 + fraca^48 + fraca^44 = fraca^2sqrt 2 ).

· Vậy khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng AI cùng SC là (fleft( AI,SC ight) = frac left< overrightarrow AI ,overrightarrow SC ight>.overrightarrow AS ightleft = fraca^3sqrt 2 4.fracsqrt 2 a^2 = fraca2)

Câu 6: đến hình chóp (O.ABC) bao gồm (OA = a), (OB = b), (OC = c) vuông góc nhau từng đôi một. Gọi M là điểm cố định thuộc tam giác (ABC) có khoảng cách lần lượt đến những (mpleft( OBC ight)), (mpleft( OCA ight)), (mpleft( OAB ight)) là 1, 2, 3. Giá chỉ trị(a,b,c) để thể tích khối chóp(O.ABC)nhỏ tuyệt nhất là

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: (Oleft( 0;0;0 ight)), (Aleft( a;0;0 ight)), (Bleft( 0;b;0 ight)), (Cleft( 0;0;c ight)).

(dleft< M,left( OAB ight) ight> = 3).( Rightarrow ) . (z_M = 3).Tương từ ( Rightarrow )(Mleft( 1;,2;,3 ight)).

PT (mpleft( ABC ight):fracxa + fracyb + fraczc = 1). (M in (ABC) Rightarrow frac1a + frac2b + frac3c = 1) (1).

(V_O.ABC = frac16abc) (2).

((1) Rightarrow 1 = frac1a + frac2b + frac3c ge 3sqrt<3>frac1a.frac2b.frac3c)( Rightarrow frac16abc ge 27) .

(2)( Rightarrow V_min = 27 Leftrightarrow frac1a = frac2b = frac3c = frac13).

Vậy (a = 3;,b = 6;,c = 9)

Câu 7: cho hình chóp tam giác đều (S.ABC) gồm độ lâu năm cạnh lòng là (a). điện thoại tư vấn (M,N) lần lượt tà tà trung điểm (SB,SC). Cho biết (left( AMN ight)) vuông góc cùng với (SBC); Tính theo (a) diện tích (Delta AMN).

Hướng dẫn giải

*

Cách 1:

Gọi (O) là hình chiếu của (S) bên trên (left( ABC ight)), ta suy ra (O) là trung tâm (Delta ABC). Hotline (I) là trung điểm của (BC), ta có: (AI = fracsqrt 3 2BC = fracasqrt 3 2)Þ(OA = fracasqrt 3 3), (OI = fracasqrt 3 6).

Trong mp(left( ABC ight)), ta vẽ tia (Oy) vuông góc cùng với (OA). Đặt (SO = h), chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: (Oleft( 0; m 0; m 0 ight)), (Aleft( fracasqrt 3 3 m;0;0 ight)), (Sleft( 0; m 0; m h ight))

Suy ra toa độ Þ(Ileft( - fracasqrt 3 6 m;0;0 ight)), (Bleft( - fracasqrt 3 6 m;fraca2 m;0 ight)), ( mCleft( - fracasqrt 3 6 m; - fraca2 m;0 ight)), ( mMleft( - fracasqrt 3 12 m;fraca4 m;frach2 ight))(Nleft( - fracasqrt 3 12 m; - fraca4 m;frach2 ight)).

* Véctơ pháp con đường mp(left( AMN ight)): (overrightarrow n __left( AMN ight) = left< overrightarrow AM ,overrightarrow AN ight>) =(left( fracah4 m;0;frac5a^2sqrt 3 24 ight)), mp(left( SBC ight)): (overrightarrow n __left( SBC ight) = left< overrightarrow SB ,overrightarrow SC ight>) =(left( - ah m;0;fraca^2sqrt 3 6 ight)). Từ mang thiết ((AMN) ot (SBC))Þ(overrightarrow n __left( AMN ight).overrightarrow n __left( SBC ight) = 0)ÞÞ(h^2 = frac5a^212) .

* diện tích tam giác (AMN): (S_Delta AMN = frac12left| left< overrightarrow AM , m overrightarrow AN ight> ight| = fraca^2sqrt 10 16)

Cách 2: gắn IA = Ox, IB = Oy ta gồm (A(fracasqrt 3 2;0;0);B(0;fraca2;0);C(0; - fraca2;0)) . O là trọng tâm tâm giác ABC đề nghị (O(fracasqrt 3 6;0;0))( Rightarrow )(S(fracasqrt 3 6;0;h)) . Đến đây ta đo lường và tính toán như trên.

Xem thêm: Lời Bài Hát Như Ngày Hôm Qua (Son Tung M, Lời Bài Hát Như Ngày Hôm Qua

Câu 8: mang lại hình lăng trụ tam giác (ABC.A_1B_1C_1) gồm đáy là tam giác phần lớn cạnh bằng (a), có(AA_1 = 2a) và vuông góc với mặt phẳng (left( ABC ight)). Hotline (D) là trung điểm của (BB_1); rước điểm (M) di động trên cạnh (AA_1). Tìm giá bán trị to nhất, bé dại nhất của diện tích s tam giác (MC_1D).

Hướng dẫn giải

*

Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz) sao cho (O equiv Aleft( 0;,0;,0 ight)); (B in Oy): (Bleft( 0;,a;,0 ight)), (A_1 in Oz): (A_1left( 0;,0;,2a ight))Þ(C_1left( fracasqrt 3 2;,fraca2;,2a ight)) cùng (Dleft( 0;,a;,a ight))

Do (M) cầm tay trên (AA_1) gồm tọa độ (Mleft( 0;,0;,t ight)) cùng với (t in left< 0;,,2a ight>)

Ta có: (S_Delta DC_1M = frac12left| left< overrightarrow DC _1,overrightarrow DM ight> ight|)

(overrightarrow DC _1 = left( fracasqrt 3 2; - fraca2;a ight)), (overrightarrow DM = left( 0; - a;t - a ight))( Rightarrow left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> = )(frac - a2left( t - 3a;sqrt 3 (t - a);asqrt 3 ight))Þ(left| left< overrightarrow DG ,overrightarrow DM ight> ight| = fraca2sqrt (t - 3a)^2 + 3(t - a)^2 + 3a^2 = fraca2sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 ). (S_Delta DC_1M = frac12.fraca2.sqrt 4t^2 - 12at + 15a^2 )

Xét (fleft( t ight) = 4t^2 - 12at + 15a^2) cùng với (t in left< 0;,,2a ight>). Ta gồm (f"left( t ight) = 8t - 12a) ; (f"left( t ight) = 0 Leftrightarrow t = frac3a2)

Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được khi (t = 0)(left( M equiv A ight)), vậy GTLN của diện tích s là (S_MC_1D = fraca^2sqrt 15 4)