Nếu f(x) gồm một nguyên hàm F(x) thì nó tất cả vô số nguyên hàm khác sai biệt nhau vày hằng số Ctạo thành

một chúng ta nguyên hàm của f(x), kí hiệu ∫f(x)dx.

Bạn đang xem: Họ nguyên hàm của hàm số fx

Do kia : ∫f(x)dx = F(x) + C.

• F(x) và G(x) là nhị nguyên hàm của cùng hàm số f(x) trên D thì

F(x) = G(x) + C, ∀x ∈ D.

Ghi chú:

Mọi hàm số thường xuyên trên K đều phải sở hữu nguyên hàm bên trên K.

Từ định nghĩa trên ta suy ra :

1. Để tìm một nguyên hàm của f(x) với điêu kiện cho trước, ta nên viết nguyên hàm này sinh sống dạng F(x) + C,

từ điều kiện đã mang lại ta suy ra cực hiếm hằng số C.

2. Để tìm bọn họ nguyên hàm ∫f(x)dx ta phân biệt:

a) nếu nguyên hàm nên tìm bao gồm trong bảng nguyên hàm thông dụng, ta chỉ việc áp dụng hiệu quả trực tiếp.

Các nguyên hàm của những hàm số thông dụng:

f(x)F(x)
0C
C (hằng số)Cx
*
(ax + b)α (α ≠ -1)
*
*
ln|x|
*
*
*
*
sin(ax + b)
*
cos(ax + b)
*
eax
*
ax
*
*
tanx
*
-cotx

b) nếu nguyên hàm buộc phải tìm không có trong bảng thông dụng, ta tìm cách phân tích nhằm f(x) thành tổng

những số hạng dễ dàng và áp dụng tính chất cơ phiên bản của nguyên hàm như sau:

(∫f(x)dx)’ = f(x) ∫f’(x)dx = f(x) + C

dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

∫af(x)dx = a∫f(x)dx (a ≠ 0).

c) Trường đúng theo không đối chiếu f(x) được ra tổng những số hạng đối kháng giản, ta dùng đến cách thức đổi

biến số bằng cách áp dụng tính chất:

f(x) có một nguyên hàm F(x) thì:

∫f(x)dx = F(x) + C, ∫f(u)du = F(u) + C, ∫f(t)dt = F(t) + C.

* giả dụ ∫f(x)dx tương tự nguyên hàm thông dụng, chỉ không nên biệt hằng sốcộng hoặc nhân, ta đặt ẩn phụ là

biểu thức gần giống và biến hóa tíchphân đã đến thành dạng ∫g(t)dt mà có thể tính được trực tiếp.

Xem thêm: Giải Phương Pháp Và Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán 11

* Trường phù hợp ∫f(x)dx không tồn tại dạng tương tự dạng thông dụng, ta cóthể áp dụng phương thức đổi

biến số như sau :

Nếu đổi khác f(x) được thành dạng tích hai số hạng f(x) = g.u’(x) thì ta đặt đổi thay số t = u(x) ⇒dt =

u’(x)dx, lúc ấy ta đã đổi khác ∫f(x)dx = ∫gu’(x)dx thành dạng ∫g(t)dt mà ta có thể tính được

trực tiếp.

d) Trường thích hợp ta không so với f(x) được về dạng nhằm đổi biến số, quan trọng đặc biệt khi f(x) là tích của nhì loại

hàm số khác biệt (hàm lượng giác, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm đa thức), ta rất có thể áp dụng phương pháp

tính nguyên hàm từng phần như sau :

u = u(x) và V = v(x) là nhị hàm số bao gồm đạo hàm tiếp tục trên K thì:

∫udv = uv - ∫vdu

Ví dụ: tác dụng nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx biết nguyên hàm này triệt tiêu khi