Trong đông đảo năm cách đây không lâu nhị thức Newton là một trong những nội dung thi đại học. Nội dung bài viết này nhằm trình làng hai dạng toán cơ bạn dạng nhất về nhị thức Newton thường gặp gỡ trong những đề thi đại học.

Bạn đang xem: Khai triển biểu thức

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.

Công thức khai triển nhị thức Newton:
*
,
*
.Công thức số tổ hợp:
*
,
*
.Tính chất lũy thừa:
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: Tìm số hạng đựng

*
trong triển khai
*
.

Phương pháp.

Viết khai triển
*
;Biến đổi khai triển thành
*
;Số hạng cất
*
tương xứng với số hạng chứa
*
thỏa
*
.Từ kia suy ra số hạng yêu cầu tìm.

Ví dụ 1. Tìm hệ số của

*
vào khai triển nhiều thức:

*

Lời giải.

Ta có

*
.

Số hạng đựng

*
tương xứng với số hạng đựng
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng đựng

*
là
*
.

Ví dụ 2. (D-04) tìm kiếm số hạng không đựng

*
trong triển khai thành nhiều thức của biểu thức:

*
x + \frac1\sqrt<4>x} \right)^7},x > 0" class="latex" />

Lời giải.

Ta gồm

*
x + \frac1\sqrt<4>x} \right)^7} = \left( x^\frac13 + x^ - \frac14 \right)^7 = \sum\limits_k = 0^7 C_7^k\left( x^\frac13 \right)^7 - k \left( x^ - \frac14 \right)^k = \sum\limits_k = 0^7 C_7^kx^\frac73 - \frac7k12" class="latex" />.

Số hạng không chứa

*
tương ứng số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy số hạng không cất

*
là
*
.

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng đựng

*
trong khai triển
*
, biết:

*

Lời giải.

Theo trả thiết có:

*

*
.

Khi kia

*
.

Số hạng chứa

*
tương ứng số hạng đựng
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng cất

*
là
*
.

Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của

*
trong triển khai thành đa thức của biểu thức:

*

Lời giải.

Ta tất cả khai triển:

*
}^k}} = \sum\limits_k = 0^8 C_8^kx^2k(1 - x)^k" class="latex" />

*
.

Số hạng cất

*
khớp ứng số hạng đựng
*
với
*
thỏa
*
.

Vì

*
đề nghị
*
hoặc
*
.

Vậy hệ số của số hạng cất

*
là
*
.

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán tương quan đến

*
.

Phương pháp.

Chọn một khai triển
*
phù hợp, tại chỗ này
*
là hằng số.Sử dụng những phép thay đổi đại số hoặc đem đạo hàm, tích phân.Dựa vào điều kiện bài toán, thế
*
bởi vì một giá bán trị gắng thể.

Ví dụ 5. (D-02) tìm kiếm số nguyên dương

*
chấp thuận hệ thức:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Chọn

*
ta gồm
*
.

Lại theo trả thiết ta gồm

*
.

Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của

*
vào khai triển 
*
, biết:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Chọn

*
ta tất cả
*
.

Lại bao gồm

*
phải
*
.

Lại theo đưa thiết có

*
.

Khi kia

*
.

Số hạng chứa

*
tương xứng số hạng cất
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng chứa

*
là
*
.

Ví dụ 7. (D-08) kiếm tìm số nguyên dương

*
hợp ý hệ thức:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Chọn lần lượt

*
và
*
ta bao gồm
*
.

Trừ theo vế (1) và (2) ta tất cả

*
.

Lại theo giả thiết tất cả

*
.

Ví dụ 8. (A-05) tìm kiếm số nguyên dương

*
thỏa mãn:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Lấy đạo hàm hai vế được

*
.

Thay

*
ta có
*
.

Theo trả thiết ta tất cả

*
.

Ví dụ 9. minh chứng rằng:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Lấy đạo hàm cấp ba hai vế ta có:

*
.

Chọn

*
ta tất cả
*
(đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) cho

*
là số nguyên dương. Tính tổng:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có:

*

*
.

Vậy

*
.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm thông số của số hạng chứa

*
trong khai triển biểu thức
*
.

2. (A-2012) đến

*
là số nguyên dương vừa lòng
*
.

Tìm số hạng cất

*
trong khai triển nhị thức Newton của
*
.

3. (A-02) đến khai triển biểu thức

*

biết rằng trong khai triển đó

*
cùng số hạng sản phẩm tư bằng
*
. Tra cứu
*
cùng
*
.

4. (D-07) Tìm hệ số của

*
trong khai triển thành nhiều thức của biểu thức:

*

5.

Xem thêm: Diễn Viên Huỳnh Cẩm Tuyền Gia Đình Phép Thuật, Cẩm Tuyền Gia Đình Phép Thuật

 (D-03) cùng với

*
là số nguyên dương, điện thoại tư vấn
*
là hệ số của
*
trong triển khai thành nhiều thức của
*
. Tìm
*
để
*
.