Đường thẳng $d, Delta $ cắt nhau tại $O$ và tạo thành góc $eta $ cùng với $0^o đựng $d, Delta . left( p ight)$ xoay quanh trục $Delta $với góc $eta $ không thay đổi $Rightarrow $ khía cạnh nón tròn chuyển phiên đỉnh $O$
$Delta $ gọi là trục.$d$ được gọi là đường sinh.Góc $2eta $ gọi là góc ở đỉnh.Bạn đang xem: Mặt nón
1.2. Khối nón
Nội dung | Hình vẽ |
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay của cả hình nón đó. Các điểm không thuộc khối nón call là những điểm kế bên của khối nón. Những điểm nằm trong khối nón nhưng không trực thuộc hình nón tương ứng gọi là số đông điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, mặt đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, con đường sinh của khối nón tương ứng. |  |
Cho hình nón có chiều cao $h,$ mặt đường sinh $l$ và nửa đường kính đáy$r$.
Diện tích xung quanh: của hình nón:
1.3. Thiết diện lúc cắt bởi vì mặt phẳng
Điều kiện | Kết quả |
Cắt mặt nón tròn luân chuyển bởi mp $left( Q ight)$ đi qua đỉnh của phương diện nón. | |
| $mpleft( Q ight)$ cắt mặt nón theo 2 đường sinh.$mpleft( Q ight)$ tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. | Thiết diện là tam giác cân.$left( Q ight)$ là mặt phẳng tiếp diện của hình nón. |
Cắt mặt nón tròn chuyển phiên bởi mp ( Q )không trải qua đỉnh của khía cạnh nón. | |
| $mpleft( Q ight)$ vuông góc với trục hình nón.$mpleft( Q ight)$ tuy nhiên song với 2 đường sinh hình nón.$mpleft( Q ight)$ song song với 1 đường sinh hình nón. | Giao tuyến là 1 đường parabol.Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.Giao tuyến là một đường tròn. |
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
2.1. Phương diện trụ
Nội dung | Hình vẽ |
Trong khía cạnh phẳng $left( phường ight)$ cho hai tuyến đường thẳng $Delta $ cùng $l$ tuy nhiên song với nhau, cách nhau một khoảng chừng bằng $r$. Khi quay mặt phẳng $left( p. ight)$ bao quanh $Delta $ thì đường thẳng $l$ ra đời một khía cạnh tròn xoay được điện thoại tư vấn là phương diện trụ tròn xoay, điện thoại tư vấn tắt là khía cạnh trụ. Đường trực tiếp $Delta $ call là trục.Đường thẳng $l$ là mặt đường sinh.$r$ là nửa đường kính của mặt trụ đó. |  |
2.2. Hình trụ tròn xoay cùng khối trụ tròn xoay
Nội dung | Hình vẽ |
Ta xét hình chữ nhật $ABCD$. Lúc quay hình chữ nhật $ABCD$ bao phủ đường thẳng cất một cạnh nào đó, ví dụ điển hình cạnh AB thì con đường gấp khúc $ABCD$ sẽ tạo nên thành một hình call là hình tròn trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ. |  |
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được số lượng giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay tất cả hình trụ tròn luân chuyển đó. đều điểm không thuộc khối trụ điện thoại tư vấn là mọi điểm ngoại trừ của khối trụ. Hầu như điểm thuộc khối trụ nhưng mà không nằm trong hình trụ tương xứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, mặt đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, mặt đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều cao $h,$ con đường sinh $l$ và bán kính đáy $r.$
Diện tích xung quanh: $S_xq=2pi rl$ Diện tích toàn phần: $S_tp=2pi rl+2pi r^2$ Thể tích: $V=pi r^2h$3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
3.1. Khía cạnh cầu
Nội dung | Hình vẽ |
Cho điểm $I$ thắt chặt và cố định và một số trong những thực dương $R$. Tập hợp toàn bộ những điểm $M$ trong không khí cách $I$ một khoảng tầm $R$ được gọi là mặt mong tâm $I,$ bán kính $R.$ Kí hiệu: $Sleft( I;R ight)$ Khi đó: $Sleft( I;R ight)=leftIM=R ight$ |  |
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt mong và phương diện phẳng
Cho mặt cầu $Sleft( I;R ight)$ và phương diện phẳng $left( phường ight)$. Call $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $left( phường ight)Rightarrow d=IH$ là khoảng cách từ $I$ mang đến mặt phẳng $left( phường ight)$. Lúc đó:
$d>R$ | $d=R$ | $d |
Mặt cầu và khía cạnh phẳng không tồn tại điểm chung. | Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: $left( p ight)$ là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và $H:$ tiếp điểm. | Mặt phẳng giảm mặt mong theo tiết diện là mặt đường tròn có tâm $I'$ và bán kính $r=sqrtR^2-IH^2$ |
 |  |  |
Lưu ý:
Khi mặt phẳng $left( phường ight)$ trải qua tâm $I$ của mặt mong thì phương diện phẳng $left( phường ight)$ được hotline là mặt phẳng kính và thiết diện lúc này được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt ước và con đường thẳng
Cho mặt cầu $Sleft( I;R ight)$ và đường thẳng $Delta $. Call $H$ là hình chiếu của $I$ lên $Delta $. Lúc đó:
$IH>R$ | $IH=R$ | $IH |
$Delta $ không cắt mặt cầu. | $Delta $ xúc tiếp với phương diện cầu. $Delta $: Tiếp tuyến của $left( S ight)$ $H:$ tiếp điểm. | $Delta $ giảm mặt ước tại nhị điểm phân biệt. |
 |  |  |
Lưu ý:
Trong trường hòa hợp $Delta $ giảm $left( S ight)$ trên 2 điểm $A,B$ thì bán kính $R$ của $left( S ight)$ được xem như sau:$left{ eginarrayldleft( I;Delta ight) = IH\R = sqrt IH^2 + AH^2 = sqrt IH^2 + left( fracAB2 ight)^2endarray ight.$
3.4. Đường kinh con đường và vĩ tuyến của phương diện cầu
Nội dung | Hình vẽ |
Giao con đường của mặt mong với nửa khía cạnh phẳng bao gồm bờ là trục của mặt mong được call là tởm tuyến. Giao con đường (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được điện thoại tư vấn là vĩ con đường của khía cạnh cầu. Hai giao điểm của mặt ước với trục được điện thoại tư vấn là hai cực của khía cạnh cầu |  |
* Mặt cầu nội tiếp, nước ngoài tiếp hình nhiều diện:
Nội dung | Hình vẽ |
Mặt mong nội tiếp hình nhiều diện nếu như mặt mong đó xúc tiếp với toàn bộ các khía cạnh của hình nhiều diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp phương diện cầu. |  |
Mặt mong ngoại tiếp hình nhiều diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện phần lớn nằm cùng bề mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu. Mặt ước tâm $O$ nửa đường kính $r$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ khi và chỉ khi $OA=OB=OC=OD=OS=r$ |  |
Cho mặt mong $Sleft( I;R ight)$
Diện tích phương diện cầu: .$S=4pi R^2$ Thể tích khối cầu: $V=frac43pi R^3$4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Việc mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Tiết diện của hình nón cắt bởi một khía cạnh phẳng
Nội dung | Hình vẽ |
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân. |  |
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là đa số tam giác cân gồm hai sát bên là hai tuyến phố sinh của hình nón. |  |
Thiết diện vuông góc cùng với trục của hình nón là đông đảo đường tròn gồm tâm vị trí trục của hình nón. |  |
4.1.2. Dạng 2. Bài bác toán tương quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có độ cao là h, nửa đường kính đáy rvà đường sinh l.
Một thiết diện trải qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ chổ chính giữa của đáy đến mặt phẳng cất thiết diện là d
Nội dung | Hình vẽ |
Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ lúc đó: $ACot left( SMI ight)$ Góc giữa $left( SAC ight)$ cùng $left( ABC ight)$ là góc $widehatSMI$. Góc giữa $left( SAC ight)$ và $SI$ là góc $widehatMSI$.$dleft( I,left( SAC ight) ight)=IH=d$Diện tích thiết diện $S_td=S_Delta ABC=frac12SM.AC=frac12sqrtSI^2+IM^2.2sqrtAI^2-IM^2$ $=sqrtr^2-frach^2d^2h^2-d^2.sqrth^2+frach^2d^2h^2-d^2$ |  |
4.1.3. Dạng 3. Việc hình nón nước ngoài tiếp cùng nội tiếp hình chóp
Nội dung | Hình vẽ |
Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ những là hình nón tất cả đỉnh là $S$, lòng là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$. Khi đó hình nón có: Bán kính lòng $r=IM=fracAB2$ Đường cao $h=SI$, con đường sinh $l=SM$ | Hình chóp tứ giác đều S.ABCD  |
Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ hồ hết là hình nón gồm đỉnh là $S$, lòng là mặt đường tròn nước ngoài tiếp hình vuông vắn $ABCD$. Khi đó hình nón có: Bán kính đáy: $r=IA=fracAC2=fracABsqrt22$ Chiều cao: $h=SI$ Đường sinh: $l=SA$ | Hình chóp tứ giác đều S.ABCD  |
Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC$ mọi là hình nón bao gồm đỉnh là $S$, đáy là mặt đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ Khi kia hình nón tất cả Bán kính đáy: $r=IM=fracAM3=fracABsqrt36$ Chiều cao: $h=SI$Đường sinh: $l=SA$ | Hình chóp tam giác đều $S.ABC$  |
Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ phần nhiều là hình nón tất cả đỉnh là $S$, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ Khi kia hình nón có: Bán kính đáy: $r=IA=frac2AM3=fracABsqrt33$ Chiều cao: $h=SI$Đường sinh: $l=SA$ | Hình chóp tam giác đều $S.ABC$  |
4.1.4. Dạng 4. Vấn đề hình nón cụt
Khi cắt hình nón vì chưng một phương diện phẳng tuy nhiên song với lòng thì phần phương diện phẳng phía trong hình nón là 1 trong những hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai khía cạnh phẳng nói trên được call là hình nón cụt.
Nội dung | Hình vẽ |
Khi cắt hình nón cụt vị một mặt phẳng tuy nhiên song với lòng thì được phương diện cắt là 1 hình tròn. |  |
Khi cắt hình nón cụt vì chưng một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một trong những hình thang cân. |  |
Cho hình nón cụt bao gồm $R, r, h$ theo lần lượt là nửa đường kính đáy lớn, nửa đường kính đáy nhỏ và chiều cao. Diện tích bao bọc của hình nón cụt: $S_xq=pi lleft( R+r ight)$ Diện tích đáy (hình tròn): $S$đáy 1$=pi r^2$; $S$đáy 2$=pi r^2$$Rightarrow sumlimits_^S$đáy$=pi left( r^2+R^2 ight)$ Diện tích toàn phần của hình nón cụt: $S_tp=pi lambda left( R+r ight)+pi r^2+pi R^2$ Thể tích khối nón cụt: $V=frac13pi hleft( R^2+r^2+Rr ight)$ |  |
4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần sót lại của hình trụ sau khi cắt vứt đi hình quạt
Nội dung | Hình vẽ |
Từ hình tròn trụ $left( O;R ight)$ cắt loại bỏ đi hình quạt $AmB.$ Độ dài cung $oversetfrownAnB$ bởi $x.$ Phần còn lại của hình tròn trụ ghép lại được một hình nón. Tìm cung cấp kính, chiều cao và độ dài mặt đường sinh của hình nón đó. Hình nón được sinh sản thành có $left{ eginarrayll = R\2pi r = x Rightarrow r = frac2pi x\h = sqrt l^2 - r^2endarray ight.$ |  |
4.2. Một vài dạng toán và công thức giải việc mặt trụ
4.2.1. Dạng 1. Tiết diện của hình trụ cắt bởi vì một mặt phẳng
Nội dung | Hình vẽ |
Thiết diện vuông góc trục là một con đường tròn bán kính $R$ Thiết diện chứa trục là 1 trong những hình chữ nhật $ABCD$ trong số đó $AB=2R$ cùng $AD=h$. Nếu như thiết diện qua trục là một hình vuông vắn thì $h=2R$. Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật $BGHC$ có khoảng cách tới trục là: $dleft( OO';left( BGHC ight) ight)=OM$ |  |
4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Nội dung | Hình vẽ |
Nếu như $AB$ và $CD$ là hai tuyến phố kính ngẫu nhiên trên hai đáy của hình tròn thì: $V_ABCD=frac16AB.CD.OO'.sin left( AB,CD ight)$ * Đặc biệt: Nếu $AB$ và $CD$ vuông góc nhau thì: $V_ABCD=frac16AB.CD.OO'$ |  |
4.2.3. Dạng 3. Xác minh góc khoảng tầm cách
Nội dung | Hình vẽ |
Góc thân $AB$ với trục $OO'$: $left( widehatAB,OO' ight)=widehatA'AB$ |  |
Khoảng bí quyết giữa $AB$ và trục $OO'$: $dleft( AB;OO' ight)=OM$ |  |
Nếu $ABCD$ là một hình vuông nội tiếp trong hình tròn trụ thì đường chéo cánh của hình vuông cũng bởi đường chéo của hình trụ. Nghĩa là cạnh hình vuông: $ABsqrt2=sqrt4R^2+h^2$ |  |
4.2.4. Dạng 4. Xác định mối tương tác giữa diện tích xung quanh, toàn phần với thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu
Nội dung | Hình vẽ |
Một khối trụ hoàn toàn có thể tích $V$ không đổi. Tìm nửa đường kính đáy và độ cao hình trụ để diện tích s toàn phần nhỏ tuổi nhất:$S_tp;min Leftrightarrow left{ eginarraylR = sqrt<3>fracV4pi \h = 2sqrt<3>fracV4pi endarray ight.$ Tìm nửa đường kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích s 1 lòng và bé dại nhất:$S_min Leftrightarrow left{ eginarraylR = sqrt<3>fracVpi \h = sqrt<3>fracVpi endarray ight.$ |  |
4.2.5. Dạng 5. Hình tròn trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là $V$ thì thể tích khối trụ là $V_left( T ight)=frac4pi V9$
Cho hình lăng trụ tứ giác đêu $ABCD.A'B'C'D'$ nước ngoài tiếp vào một hình trụ. Diện tích xung quanh hình trụ là $S_xq$ thì diện tích s xung quanh của hình lăng trụ là $S_aq=frac2Spi $
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối nhiều diện
5.1.1. Những khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của nhiều giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa nhiều giác đáy Bất kì một điểm nào nằm trên trục của nhiều giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng trải qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều nhì đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng trải qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm bên trên mặt trung trực thì cách đều nhì đầu mút của đoạn thẳng.
5.1.2. Trọng tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Tốt nói cách khác, nó chính là giao điểm $I$ của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh mặt hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ $I$ đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định vai trung phong và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Nội dung | Hình vẽ |
Tâm: trùng với trung khu đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) $Rightarrow $ vai trung phong là $I$, là trung điểm của $AC'$. Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương). $Rightarrow $Bán kính: $R=fracAC'2$ |  |
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn
Nội dung | Hình vẽ |
Xét hình lăng trụ đứng $A_1A_2A_3...A_n.A_1^'A_2^'A_3^'...A_n^'$, trong đó có 2 đáy $A_1A_2A_3...A_n$ và $A_1^'A_2^'A_3^'...A_n^'$nội tiếp đường tròn $left( O ight)$ và $left( O' ight)$. Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: $I$ với $I'$ là trung điểm của $OO'$.Bán kính: $R=IA_1=IA_2=...=IA_n^'$ |  |
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
Nội dung | Hình vẽ |
Hình chóp $S.ABC$ có $widehatSAC=widehatSBC=90^0$. Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$.Bán kính: $R=fracSC2=IA=IB=IC$Hình chóp $S.ABCD$ có $widehatSAC=widehatSBC=widehatSDC=90^0$. Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$. Bán kính: $R=fracSC2=IA=IB=IC=ID$ |  |
5.1.3.4. Hình chóp đều
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp đều $S.ABC...$ Gọi $O$ là trọng tâm của đáy$Rightarrow SO$ là trục của đáy.Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh bên, chẳng hạn như $mpleft( SAO ight)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ là $Delta $ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SO$ tại $IRightarrow I$ là trọng điểm của mặt cầu.Bán kính: Ta có: $Delta SMIacksim Delta SOARightarrow fracSMSO=fracSISARightarrow $ Bán kính: $R=IS=fracSM.SASO=fracSA^22SO=IA=IB=IC=...$ |  |
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp $S.ABC...$ có cạnh bên $SAot left( ABC... ight)$ và đáy $ABC...$ nội tiếp được vào đường tròn trung tâm $O$. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC...$được xác định như sau: Từ chổ chính giữa $O$ ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mpleft( ABC... ight)$ tại $O$.Trong $mpleft( d,SA ight)$, ta dựng đường trung trực $Delta $ của cạnh $SA$, cắt$SA$ tại $M$, cắt $d$ tại $IRightarrow I$ là trọng điểm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính$R=IA=IB=IC=IS=...$ Tìm bán kínhTa có: $MIOB$là hình chữ nhật. Xét $Delta MAI$ vuông tại $M$ có: $R=AI=sqrtMI^2+MA^2=sqrtAO^2+left( fracSA2 ight)^2$ | 
|
5.1.3.6. Hình chóp khác
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số nhiều giác thường gặp
Khi xác định trung khu mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại trọng tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định trung khu ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp $S.A_1A_2...A_n$ (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt mong ngoại tiếp). Thông thường, để khẳng định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta tiến hành theo nhì bước: Bước 1:Xác định trọng điểm của đường tròn nước ngoài tiếp đa giác đáy. Dựng $Delta $: trục mặt đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2:Lập phương diện phẳng trung trực $left( alpha ight)$ của một cạnh bên. Lúc đó Tâm $O$ của phương diện cầu: $Delta cap mpleft( alpha ight)=left O ight$ bán kính: $R=SAleft( =SO ight).$ Tuỳ vào từng trường hợp. |  |
5.3. Kĩ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục mặt đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Nội dung | Hình vẽ |
Định nghĩa Trục con đường tròn ngoại tiếp đa giác lòng là mặt đường thẳng đi qua tâm đường tròn nước ngoài tiếp đáy với vuông góc với khía cạnh phẳng đáy. Tính chất $forall Min Delta : MA=MB=MC$ Suy ra: $MA=MB=MCLeftrightarrow Min Delta $ Các bước xác minh trục Bước 1:Xác định trọng điểm $H$ của mặt đường tròn nước ngoài tiếp đa giác đáy. Bước 2:Qua $H$ dựng $Delta $ vuông góc với phương diện phẳng đáy. Một số ngôi trường hợp quánh biệt Đáy là tam giác vuôngĐáy là tam giác đềuĐáy là tam giác thường |     |
5.3.2. Kĩ năng tam giác đồng dạng
Nội dung | Hình vẽ |
$Delta SMO$ đồng dạng với $Delta SIARightarrow fracSOSA=fracSMSI$ |  |
5.3.3. Thừa nhận xét quan trọng
$exists M,S:;left{ eginarraylMA = MB = MC\SA = SB = SCendarray ight. Rightarrow SM$ là trục đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$.
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác minh tâm mặt ước ngoại tiếp nhiều diện
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp $S.A_1A_2A_3...A_n$ (thõa mãn điều kiện tồn trên mặt mong ngoại tiếp). Thông thường, để xác minh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta triển khai theo hai bước: Bước 1:Xác định trọng điểm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp đa giác đáy. Dựng $Delta $: trục mặt đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác đáy. Bước 2:Xác định trục $d$ của đường tròn nước ngoài tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó: Tâm $I$ của mặt cầu: $Delta cap d=left I ight$ Bk: $R=IAleft( =IS ight)$. Tuỳ vào từng trường hợp. |  |
5.5. Tổng kết các dạng tìm vai trung phong và nửa đường kính mặt cầu
5.5.1. Dạng 1
Nội dung | Hình vẽ |
Cạnh bên SAvuông góc đáy với $widehatABC=90^0$ lúc ấy $R=fracSC2$ và trọng điểm là trung điểm $SC$. |  |
5.5.2. Dạng 2
Nội dung | Hình vẽ |
Cạnh bên $SA$ vuông góc đáy và bất cứ đáy là hình gì, chỉ cần tìm được nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp của lòng là $R_D$, khi ấy : $R^2=R_D^2+fracSA^24$ $R_D=fracabc4sqrtpleft( p-a ight)left( p-b ight)left( p-c ight)$ ($p$: nửa chu vi).Nếu $Delta ABC$ vuông tại $A$ thì: $R_D=frac14left( AB^2+AC^2+AS^2 ight)$ Đáy là hình vuông cạnh $a$ thì $R_d=fracasqrt22$ nếu lòng là tam giác đông đảo cạnh $a$ thì $R_D=fracasqrt33$ |  |
5.5.3. Dạng 3
Nội dung | Hình vẽ |
Chóp có các sát bên bằng nhau: $SA=SB=SC=SD$ : $R=fracSA^22SO$ $ABCD$ là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó $O$ là giao hai đường chéo.$Delta ABC$ vuông, lúc ấy $O$ là trung điểm cạnh huyền.$Delta ABC$ đều, khi đó $O$ là trọng tâm, trực tâm. |  |
5.5.4. Dạng 4
Nội dung | Hình vẽ |
Hai phương diện phẳng $left( SAB ight)$ cùng $left( ABC ight)$ vuông góc cùng nhau và có giao con đường $AB$. Lúc đó ta hotline $R_1,R_2$ thứu tự là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $SAB$ và $ABC$. Bán kính mặt ước ngoại tiếp: $R^2=R_1^2+R_2^2-fracAB^24$ |  |
5.5.5. Dạng 5
Chóp $S.ABCD$ có đường cao $SH$, trung tâm đường tròn ngoại tiếp lòng là $O$. Lúc đó ta giải phương trình: $left( SH-x ight)^2+OH^2=x^2+R_D^2$ . Với giá trị $x$ kiếm được ta có: $R^2=x^2+R_D^2$
5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt mong nội tiếp: $r=frac3VS_tp$
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY
6.1. Chỏm cầu
Nội dung | Hình vẽ |
| $left{ eginarraylS_xq = 2pi Rh = pi left( r^2 + h^2 ight)\V = pi h^2left( R - frach3 ight) = fracpi h6left( h^2 + 3r^2 ight)endarray ight.$ |  |
6.2. Hình tròn cụt
Nội dung | Hình vẽ |
$left{ eginarraylS_xa = pi rleft( h_1 + h_2 ight)\V = pi R^2left( frach_1 + h_22 ight)endarray ight.$ |  |
6.3. Hình nêm loại 1
Nội dung | Hình vẽ |
$V=frac23R^3 an alpha $ |  |
6.4. Hình nêm một số loại 2
Nội dung | Hình vẽ |
$V=left( fracpi 2-frac23 ight)R^3 an alpha $ |  |
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay
Nội dung | Hình vẽ |
| $left{ eginarraylS_parabol = frac43Rh;;fracS'S = left( sqrt fracxh ight)^3 = left( fracar ight)^3\v = frac12pi R^2h = frac12V_truendarray ight.$ |  |
6.6. Diện tích Elip với Thể tích khối tròn luân phiên sinh do Elip
Nội dung | Hình vẽ |
| $left{ eginarraylS_elip = pi ab\V_xoay;quanh;2a = frac43pi ab^2\V_xoay;quanh;2b = frac43pi a^2bendarray ight.$ |  |
6.7. Diện tích hình vành khăn
Nội dung | Hình vẽ |
$S=pi left( R^2-r^2 ight)$ |
|
6.8. Thể tích hình xuyến (phao)
Nội dung | Hình vẽ |
$V=2pi ^2left( fracR+r2 ight)left( fracR-r2 ight)^2$ |