Nguyên hàm In x là dạng bài xích tập khiến cho nhiều học sinh bị mất điểm. Vày vậy để nạp năng lượng trọn điểm bài xích tập phần này những em yêu cầu nắm chắc toàn thể công thức cũng như luyện tập thật những dạng bài tập. Hãy xem thêm ngay bài viết dưới phía trên để không bị mất điểm phần này nhé!



1. Khái niệm nguyên hàm lnx

Ta gồm hàm số $f(x)$ xác định trên K. Hàm số $f(x)$ chính là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K nếu như $f"(x)=f(x)$ cùng với $xin K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ được tính như sau:

Đặt$left{eginmatrixu=lnx\dv=dxendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=frac1xdx\v=xendmatrix ight.$

Ta có$int lnxdx=xlnx-int dx"=xlnx-x+C$

2. Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Ta tất cả bảng công thứcnguyên hàm In x và một số nguyên hàm cơ bản thường gặp.

Bạn đang xem: Nguyên hàm 1

3. Cách tính nguyên hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với$int_1^2ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, trong các số đó a, b, c là những số nguyên. Tính S=a+b=c.

Giải:

Đặt$left{eginmatrixu=ln(x+1)\dv=dxendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=frac1x+1dx\v=x+1endmatrix ight.$

Lúc này ta có:

$int_1^2ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)left|eginmatrix2\1endmatrix ight.-int_1^2dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy: a=3; b=-2; c=-1

$Rightarrow$ S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$

Giải:

B=$int x^2lnxdx=int lnxd(fracx^33)$

=$fracx^33lnx-int fracx^33.d(lnx)$

=$fracx^33lnx-int fracx^33.fracdx3=fracx^33lnx-fracx^39+C$

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm J=$int frac(lnx+1)lnx(lnx+1+x)dx$

Giải:

Ta có: J=$int fraclnx+1x(fraclnx+1x+1)^3.fraclnxx^2dx$

Đặt t=$fraclnx+1xRightarrow dt=fraclnxx^2dx Rightarrow J=int fractdt(t+1)^3=int dt$

=$-frac12(t+1)^2+frac1t+1+C$

=$-fracx^22(lnx+1+x^2)+fracxlnx+x+1+C$

Ví dụ 2: tra cứu nguyên hàm của:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Giải:

a) Đặt$left{eginmatrixu=x\dv=2^xdxRightarrow left{eginmatrixdu=dx\v=frac2^xln2.endmatrix ight.endmatrix ight.$

Ta có:$int x2^xdx=fracx.2^xln2-int frac2^xln2dx=fracx.2^xln2-frac2^xln^22+C$

b) Đặt$left{eginmatrixu=x^2-1\dv=e^xdxendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=2xdx\v=e^xdxendmatrix ight.$

Suy ra ta có$int f(x)dx=(x2-1)ex-int 2x.ex$ dx

Đặt$left{eginmatrixu=2x\dv=e^xdxendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=2dx\v=e^xdxendmatrix ight.$

Ví dụ 3: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số$f(x)=(3x^2+1).lnx$

A.$int f(x)dx=x(x^2+1)lnx-fracx^33+C$

B.$int f(x)dx=x^3lnx-fracx^33+C$

C.$int f(x)dx=x(x^2+1lnx-fracx^33-x+C$

D.$int f(x)dx=x^3lnx-fracx^33-x+C$

Giải:

Đặt $left{eginmatrixu=lnx\dv=(3x^2+1)dxendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=frac1xdx\v=int (3x^2+1)dx=x^3+xendmatrix ight.$

$Rightarrow I=(x^3+x)lnx-int (x^3+x)frac1xdx=x(x^2+1)lnx-int (x^2+1)dx=x(x^2+1lnx-fracx^33-x+C.$

=> Đáp án C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Bất phương trình $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm đúng với mọi số thực khi?

Giải:

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm:

a)$int 2xln(x-1)dx$

b)$int fracln(x+1)x^2$

Giải:

a) Đặt$left{eginmatrixu=ln(x-1)\dv=2xdxendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=frac1x-1dx\v=x^2-1endmatrix ight.$

Ta có$int 2xln(x-1)dx$

=$(x^2-1)ln(x-1)-int (x+1)dx$

=$(x^2-1)ln(x-1)-int (x+1)dx$

=$(x^2-1)ln(x-1)-fracx^22-x+C$

Đặt$left{eginmatrixu=ln(1+x)\dv=frac1x^2dtendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=frac1(1+x)dx\v=-frac1x-1=-frac1+xxendmatrix ight.$

=>$F(x)=-frac1+xx.ln(1+x)+int frac1xdx$

=$-frac1+xxln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$

Giải:

Ví dụ 2:

Cho$int_1^2fracln(1+x)x^2dx=aln2+bln3$,với a cùng b là các số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=$frac32$

B. P=0

C. P=$frac-92$

D. P=-3

Giải:

Ta có I=$int_1^2fracln(1+x)x^2dx=aln2+bln3$

Đặt$left{eginmatrixu=ln(1+x)\dv=frac1x^2dxendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=frac11+xdx\v=-frac1xendmatrix ight.$

Khi đó I=$-frac1xln(1+x)left|eginmatrix2\1endmatrix ight.+int_1^2frac1x(1+x)dx=-frac12ln3+ln2+int_1^2(frac1x-frac11+x)dx$

=$-frac12ln3+ln2+(lnfracxx+1)left|eginmatrix2\1endmatrix ight.=-frac12ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-frac32ln3$

Suy ra a=3, b=$-frac32$. Vậy P=$ab=frac-92$

Chọn giải đáp C.

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ1:Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)x

Giải:

Ta có:

y’=$-frac1x^2+fracln(x)"x-ln(x)"xx^2$

=$-frac1x^2+frac1+ln(x)x^2=-fracln(x)x^2$

Ví dụ 2:

Giả sử tích phân I=$int_1^5frac11+sqrt3x+1dx$=a+bln3+cln5.

Lúc đó:

A. $a+b+c=frac53$

B. $a+b+c=frac43$

C. $a+b+c=frac73$

D. $a+b+c=frac83$

Giải:

Đặt t =$sqrt3x+1Rightarrow dx=frac23tdt$

Đổi cận

x15
t24

Ta có I=$int_1^5frac11+sqrt3x+1dx=int_1^4frac11+t.frac23tdt=frac23int_2^4fractt+1dt=frac23int_2^4(1-frac1t+1)dt=frac23(t-ln|1+t|)left|eginmatrix4\2endmatrix ight.=frac43+frac23ln3-frac23ln5$

Do đó$a=frac43;b=frac23;c=-frac23$

Vậy $a+b+c=frac43$

=> lựa chọn đáp ánB.

Xem thêm: Tổng hợp các trang ca cuoc bong da uy tín nhất 2022

Ví dụ 3:Biết tích phân$int_0^ln6frace^x1+sqrte^x+3dx=a+bln2+cln2$, cùng với a, b, c là những số nguyên. Tính T=a+b+c

A. T=-1

B. T=0

C. T=2

D.T=1

Giải:

Đặtt=$sqrte^x+3Rightarrow t^2=e^x+3Rightarrow 2tdt=e^xdx$

Đổi cận$left{eginmatrixx=ln6\x=0endmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixt=3\t=2endmatrix ight.$

Suy ra$int_0^ln6frace^x1+sqrte^x+3dx=int_2^3frac2tdt1+tdt=(2t-2ln|t+1|)left|eginmatrix3\2endmatrix ight.$

=$(6-2ln4)-(4-2ln3)=2-4ln2+2ln3 Rightarrowleft{eginmatrixa=2\b=-4\c=2endmatrix ight.$

Vậy T=0

=> Chọn lời giải B

3.6. Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

Tính nguyên hàm $I=int fracln(lnx)xdx$ được tác dụng nào sau đây?

Ví dụ 1:Tính nguyên hàm của hàm số I=$int fracln(lnx)xdx$

Giải:

Đặt lnx=t => dt =$fracdxx$

Suy ra I=$int fracln(lnx)xdx=int lntdt$

Đặt$left{eginmatrixu=lnt\dv=dtendmatrix ight.Rightarrow left{eginmatrixdu=fracdtt\v=tendmatrix ight.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

I=$tlnt-int dt=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho I=$int_1^efraclnxx(lnx+2)^2dx=aln3+bln2+fracc3$ với a, b, c $in Z$. Xác định nào tiếp sau đây đúng.

A.$a^2+b^2+c^2=1$

B.$a^2+b^2+c^2=11$

C.$a^2+b^2+c^2=9$

D.$a^2+b^2+c^2=3$

Giải:

Ta có I=$int_1^efraclnxx(lnx+2)^2dx, đặt lnx+2=t =>fracdxx=dt$

I=$int_2^3fract-2t^2dt=int_2^3frac1tdt-2int_2^3frac1t^2dt$

=$lntleft|eginmatrix3\2endmatrix ight.+frac2tleft|eginmatrix3\2endmatrix ight.$

=$ln3-ln2+frac23-frac22=ln3-ln2-frac13$

Suy ra a=1;b=-1;c=-1

Vậy$a^2+b^2+c^3=3$

Bên cạnh đó, thầy trường Giangđã có bài giảng cực hay về nguyên hàm tích phân cùng phần đa tip giải bài xích tập rất có lợi để giải đề thi thpt Quốc gia. Các em cùng xem trong đoạn clip dưới phía trên nhé!