Nhóm là 1 trong tập đúng theo G và một phép toán 2 ngôi (ullet), ((G, ullet))phải thỏa các tính chất sau:

Tính đóng góp (Closure): với mọi (a, b in G), ta tất cả (a ullet b in G) Tính kết hợp (Associativity): với mọi (a, b, c in G), ta có: ((a ullet b) ullet c = a ullet (b ullet c)) thành phần đơn vị (Identity element): Tồn tại 1 phần tử đơn vị (e in G) thỏa (e ullet a = a ullet e = a), vớimọi (a in G). Trường hợp tồn tại, thành phần đơn vị là duy nhất. Bộ phận nghịch đảo (Inverse element): với từng (a in G), trường tồn (b in G) thỏa (a ullet b = b ullet a = e),với (e) là bộ phận đơn vị của nhóm. Thành phần nghịch hòn đảo của (a) hay được kí hiệu là (a^-1) hoặc (-a), tùy theophép toán vẫn sử dụng.

Bạn đang xem: Nhóm toán học

Ví dụ:

Nhóm: Tập vừa lòng số nguyên (mathbbZ) với phép toán cộng. Bộ phận đơn vị là 0. Chưa hẳn nhóm: Tập (mathbbZ) với phép toán nhân (không có phần tử nghịch đảo).

Nhóm nhỏ (Subgroup)

Cho nhóm G cùng với phép toán (ullet), tập nhỏ H của G được hotline là nhóm nhỏ nếu H và(ullet) cũng sản xuất thành một nhóm. Khi H là nhóm con của G, ta kí hiệu (H leq G).

Ví dụ, xét đội ((mathbbZ, +)), khi đó ta có một tổ con là tập hợp các số chẵn,tuy nhiên tập hợp những số lẻ chưa hẳn là nhóm bé của ((mathbbZ, +)), do không thỏatính đóng góp (tổng 2 số lẻ là một vài chẵn).

Khi H là nhóm bé của G, ta có đặc thù sau: phần tử đơn vị của G cũng chính là bộ phận đơnvị của H.

Cyclic group và phần tử sinh

Xét team G cùng với phép toán (ullet). Ta kí hiệu phép “lũy thừa” với ý nghĩa như sau:

(a^0 = e), với e là phần tử đơn vị.

Khi đó, G là 1 cyclic group nếu tồn trên (g in G) sao cho, với mỗi (a in G), (a = g^k)với một vài nguyên k làm sao đó. G sẽ sở hữu được dạng:

(g) sẽ được gọi là phần tử sinh của nhóm.

Ví dụ, ((mathbbZ, +)) là 1 trong cyclic group với phần tử sinh là 1.

Nhóm hữu hạn, bậc (order) của tập thể nhóm và bậc của phần tử

Xét một nhóm hữu hạn G,

Bậc của group là số bộ phận của nhóm đó, kí hiệu (lvert G vert). Bậc của 1 phần tử (a in G) là số nguyên dương (m) nhỏ nhất sao cho (a^m = e), với(e) là phần tử đơn vị của nhóm, kí hiệu (lvert a vert).

Ký hiệu (langle a angle) là nhóm con sinh vị (a in G), (langle a angle = a^k vert k in mathbbZ\).Ta có tính chất sau: (lvert langle a angle vert = lvert a vert), phân phát biểu bởi lời:“Bậc của tập thể nhóm con sinh bởi vì a bằng bậc của a”

Định lý Lagrange

Phát biểu định lý Lagrange: “Nếu H là nhóm bé của G thì (vert H vert) là cầu của (vert Gvert)”.

Một số hệ quả:

(vert G vert vdots vert a vert) với tất cả (a in G)

Định lý Fermat nhỏ: (a^p-1 = 1 pmod p) với p nguyên tố với (a e 0). Bệnh minh:

Xét đội nhân (mathbbZ_p^* = \bar1, ar2, dots, overlinep-1\), ta có(vert mathbbZ_p^* vert = phường - 1).

Mặt khác, (vert mathbbZ_p^* vert vdots vert a vert) đề nghị (a^p-1 = a^kvert a vert = 1 pmod p),(do (a^vert a vert = 1 pmod p), theo có mang bậc của phần tử)

Định lý Euler: ta cũng đều có thể minh chứng định lý Euler tương tự như trên.Vành (Ring)

Xét tập phù hợp R cùng với 2 phép toán + với (cdot), R được gọi là 1 trong những vành trường hợp ta tất cả các đặc điểm sau:

cộng và nhân có tính đóng cùng và nhân có tính kết hợp: (forall a, b, c in R, (a + b) + c = a + (b + c), (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)) Tồn tại bộ phận đơn vị cho phép cộng cùng nhân, ta kí hiệu 0 với 1 lần lượt là bộ phận đơn vịcủa phép cùng và nhân: (forall a in R, a + 0 = 0 + a = a, a cdot 1 = 1 cdot a = a) Phép cộng có tính giao hoán: (a + b = b + a, forall a, b in R) Tồn tại bộ phận nghịch đảo chất nhận được cộng, (forall a in R, exists b in R, a + b = 0)

Tính trưng bày của phép nhân so với phép cộng:

<(b + c) cdot a = (b cdot a) + (c cdot a)>

Lưu ý là phép nhân không cần có tính đổi chác và không cần thiết phải có phần tử nghịch đảo.

Ví dụ: Tập hợp các ma trận vuông 2x2 bên trên tập số thực là 1 vành. Tổng quát hơn, nếuR là một vành thì tập hợp những ma trận nxn với mỗi phần tử ma trận (in R), kí hiệu (M_n(R)), cũng là 1 trong vành.

Xem thêm:
Sinh Năm 2011 Mệnh Gì? Tuổi Tân Mão Hợp Tuổi Nào, Màu Gì? Năm 2011 Mệnh Gì

Trường (Field)

Xét tập vừa lòng F với 2 phép toán + và (cdot). F được gọi là một trong trường nếu như nó thỏa các đặc điểm sau:

cùng và nhân bao gồm tính đóng cùng và nhân bao gồm tính trao đổi Tồn tại thành phần đơn vị mang đến cộng và nhân, kí hiệu theo thứ tự là 0 với 1. Tồn tại bộ phận nghịch đảo (-a) cùng với (forall a in F), thỏa (a + (-a) = 0) với (forall a e 0), lâu dài (a^-1) thỏa (a cdot a^-1 = 1) Tính triển lẵm của phép nhân đối với phép cộng: (a cdot (b + c) = (a cdot b) + (a cdot b))

Trường hữu hạn là 1 trường bao gồm số bộ phận là hữu hạn. Một trường hữu hạn thường gặp gỡ là (mathbbZ_p)với p nguyên tố.