Vấn đề 6 "Công tác nhân" thuộc tài liệu bài xích tập lượng giác lớp 10 cải thiện cung cấp cho cho các bạn những cách làm tính và câu hỏi bài tập về công tác nhân giúp chúng ta củng thế lại kiến thức và kỹ năng đã học và làm cho quen với dạng bài tập. Hy vọng tài liệu phục vụ hữu ích nhu cầu học tập cùng ôn thi.




Bạn đang xem: Rút gọn biểu thức lượng giác lớp 10 nâng cao

*

Trần Sĩ Tùng Lượng giác VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin2α = 2sinα .cosα cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1− 2sin2 α 2tanα cot2 α − 1 tan2α = ; cot2α = 1− tan2 α 2cotα Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 1− cos2α sin3α = 3sinα − 4sin3 α sin2 α = 2 1+ cos2α cos3α = 4cos3 α − 3cosα 2 cos α = 3tanα − tan3 α 2 tan3α = 2 1− cos2α 1− 3tan2 α tung α = 1+ cos2αBài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 5 3π a) cos2α , sin2α , tan2α khi cosα = − ,π Lượng giác Trần Sĩ Tùng π π π m) M = sin .cos .cos ĐS: 2 16 16 8 8Bài 3. Chứng minh rằng: a a a a sina p. = cos cos cos ... Cos = a) 2 2 2 2 3 2n a 2n.sin 2n π 2π nπ 1 b) Q = cos .cos ... Cos = 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n 2π 4π 2nπ 1 c) R = cos .cos ... Cos =− 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: 3 1 5 3 a) sin4 + cos4 x = + cos4x b) sin6 x + cos6 x = + cos4x 4 4 8 8 1 x x 1 c) sin x.cos3 x − cos x.sin3 x = sin4x d) sin6 − cos6 = cos x (sin2 x − 4) 4 2 2 4 1− sin2 x � π x � = 1 e) 1− sin x = 2sin2 � − � f) �π � 2 �π � �4 2 � 2cot� + x � .cos � − x � �4 � �4 � �π � 1+ cos� + x � �π x � �2 �= 1 �π � 1+ sin2x g) tan� + � . H) tan� + x �= �4 2 � �π � �4 � cos2x sin� + x � �2 � cos x �π x � tan2 2x − tan2 x i) = cot � − � k) tung x.tan3x = 1− sin x ��4 2 1− tan2 x.tan2 2x 2 l) rã x = cot x − 2cot x m) cot x + tung x = sin2x n) 1 + 1 1 + 1 1 + 1 cos x = cos x , v�� π i 0Trần Sĩ Tùng Lượng giác a+b a−b sin(a + b) cosa + cosb = 2cos .cos tana + tanb = 2 2 cosa.cosb a+b a−b sin(a − b) cosa − cosb = − 2sin .sin tana − tanb = 2 2 cosa.cosb a+b a−b sin(a + b) sina + sinb = 2sin .cos cot a + cot b = 2 2 sina.sinb a+b a−b sin(b − a) sina − sinb = 2cos .sin cot a − cot b = 2 2 sina.sinb � π� � π� sinα + cosα = 2.sin�α + �= 2.cos�α− � � 4� � 4� � π� � π� sinα − cosα = 2sin�α − �= − 2cos� α+ � � 4� � 4� 2. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.cosb sin(a b) sin(a b) 2Bài 1. Biến đổi thành tổng: a) 2sin(a + b).cos(a − b) b) 2cos(a + b).cos(a − b) 13x x c) 4sin3x.sin2x.cos x d) 4sin .cos x.cos 2 2 π 2π e) sin(x + 30o ).cos(x − 30o ) f) sin .sin 5 5 g) 2sin x.sin2x.sin3x. H) 8cos x .sin2x.sin3x � π� � π� i) sin�x + � .sin�x − � .cos2x k) 4cos(a − b).cos(b − c).cos(c − a) � 6� � 6�Bài 2. Chứng minh: �π � �π � �π � �π � a) 4cos x.cos� − x � cos� + x �= cos3x b) 4sin x.sin� − x � sin� + x �= sin3x �3 � �3 � �3 � �3 � Áp dụng tính: A = sin10o.sin50o.sin70o B = cos10o.cos50o.cos70o C = sin200.sin400.sin800 D = cos200.cos400.cos800Bài 3. Biến đổi thành tích: a) 2sin4x + 2 b) 3− 4cos2 x c) 1− 3tan2 x d) sin2x + sin4x + sin6x e) 3+ 4cos4x + cos8x f) sin5x + sin6x + sin7x + sin8x g) 1+ sin2x ヨcos2x ヨtan2x h) sin2(x + 90o ) − 3cos2(x − 90o ) i) cos5x + cos8x + cos9x + cos12x k) cos x + sin x + 1 Trang 69 Lượng giác Trần Sĩ TùngBài 4. Rút gọn các biểu thức sau: cos7x − cos8x − cos9x + cos10x sin2x + 2sin3x + sin4x a) A = b) B = sin7x − sin8x − sin9x + sin10x sin3x + 2sin4x + sin5x 1+ cos x + cos2x + cos3x sin4x + sin5x + sin6x c) C = d) D = cos x + 2cos2 x − 1 cos4x + cos5x + cos6xBài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: π 2π π 7π a) A = cos + cos b) B = chảy + tung 5 5 24 24 c) C = sin 70 .sin 50o.sin2 10o 2 o 2 d) D = sin 17 + sin2 43o + sin17o.sin43o 2 o 1 1 3 e) E = − 2sin70o f) F = − 2sin10o sin10o cos10o tan80o cot10o g) G = − cot25o + cot75o tan25o + tan75o h) H = tan90 − tan270 − tan630 + tan810 1 1 3 ĐS: A = B = 2( 6 − 3) C= D= 2 64 4 E = 1 F = 4 G = 1 H = 4Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: π 7π 13π 19π 25π 1 a) sin sin sin sin sin ĐS: 30 30 30 30 30 32 b) 16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90o o o o o ĐS: 1 1 c) cos24o + cos48o − cos84o − cos12o ĐS: 2 2π 4π 6π 1 d) cos + cos + cos ĐS: − 7 7 7 2 π 2π 3π 1 e) cos − cos + cos ĐS: 7 7 7 2 π 5π 7π f) cos + cos + cos ĐS: 0 9 9 9 2π 4π 6π 8π g) cos + cos + cos + cos ĐS: –1 5 5 5 5 π 3π 5π 7π 9π 1 h) cos + cos + cos + cos + cos ĐS: 11 11 11 11 11 2Bài 7. Chứng minh rằng: a) tan9o − tan27o − tan63o + tan81o = 4 b) tan20o − tan40o + tan80o = 3 3 c) tan10o − tan50o + tan60o + tan70o = 2 3 d) tan30o + tan40o + tan50o + tan60o = 8 3 .cos20o 3 e) tan20 + tan40 + tan80 + tan60 = 8sin40o o o o o f) tan6 20o − 33tan4 20o + 27tan2 20o − 3 = 0Bài 8. Tính các tổng sau: Trang 70Trần Sĩ Tùng Lượng giác a) S1 = cosα + cos3α + cos5α + ... + cos(2n − 1)α (α kπ ) π 2π 3π (n − 1)π b) S2 = sin + sin + sin + ... + sin . N n n n π 3π 5π (2n − 1)π c) S3 = cos + cos + cos + ... Cos . N n n n 1 1 1 π d) S4 = + + ... + i a = . , v�� cosa.cos2a cos2a.cos3a cos4a.cos5a 5 � 1 � � 1 � � 1 � � 1 � e) S5 = �1+ ��1+ �1+ � �... � 1+ � � cos x � � cos2x � � cos3x � � cos2n −1x � sin2nα π π ĐS: S1 = ; S2 = cot ; S3 = − cos ; 2sinα 2n n n −1 tan2 x tan5a − tana S5 = S4 = = 1− 5 ; x sina chảy 2Bài 9. 1 a) Chứng minh rằng: sin3 x = (3sin x − sin3x ) (1) 4 a a a a b) Thay x = n vao nh Sn = sin3 + 3sin3 + ... + 3n−1 sin3 . �(1), t� 3 3 32 3n 1 �n a � ĐS: Sn = �3 sin − sina � . 4� 3n �Bài 10. Sin2a a) Chứng minh rằng: cosa = . 2sina sin x x x x Pn = . B) Tính Pn = cos cos 2 ... Cos n . ĐS: n x 2 2 2 2 sin 2nBài 11. 1 x a) Chứng minh rằng: = cot − cot x . Sin x 2 1 1 1 α b) Tính S = + + ...+ (2n−1α kπ ) ĐS: S = cot − cot2n−1α sinα sin2α n sin2 α−1 2Bài 12. A) Chứng minh rằng: tan2 x.tan2x = tan2x − 2tan x . A a a a a b) Tính Sn = tan2 .tana + 2tan2 2 .tan + ...+ 2n−1 tan2 n .tan n −1 2 2 2 2 2 a ĐS: Sn = tana − 2n tung 2n 1 1 1 1 8Bài 13. Tính sin2 2x , biết: + + + =7 ĐS: 2 2 2 2 9 tung x cot x sin x cos xBài 14. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a) cot x − chảy x − 2tan2x = 4cot4x b) 1− 2sin 2x = 1+ tan2x 1− sin4x 1− tan2x Trang 71Lượng giác Trần Sĩ Tùng 1 3tan2 x 1 sin2x − cos2x c) − tan6 x = +1 d) tan4x − = 6 cos x 2 cos x cos4x sin2x + cos2x e) tan6x − tan4x − tan2x = tan2x.tan4x.tan6x sin7x f) = 1+ 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x sin x g) cos5x.cos3x + sin7x.sin x = cos2x.cos4xBài 15. 2tan(a + b) a) Cho sin(2a + b) = 5sinb . Chứng minh: =3 tana b) Cho tan(a + b) = 3tana . Chứng minh: sin(2a + 2b) + sin2a = 2sin2bBài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh: A B C a) sin A + sin B + sinC = 4cos cos cos 2 2 2 A B C b) cos A + cosB + cosC = 1+ 4sin sin sin 2 2 2 c) sin2 A + sin2 B + sin2C = 4sin A.sin B.sinC d) cos2A + cos2B + cos2C = − 1− 4cos A.cosB.cosC e) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1− 2cos A.cosB.cosC f) sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2cos A.cosB.cosCBài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết: π 1 π π π a) B − C = va�sin B.sinC = . ĐS: B = , C = , A = 3 2 2 6 3 π 5π π b) B + C = 2π va� 1+ 3 sin B.cosC = . ĐS: A = , B = ,C= 3 4 3 12 4Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông: a) cos2A + cos2B + cos2C = −1 b) tan2A + tan2B + tan2C = 0 b c a B a+c c) + = d) cot = cosB cosC sin B.sinC 2 bBài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân: A+B a) a rã A + b rã B = (a + b)tan b) 2tan B + tanC = tan2 B.tanC 2 sin A + sin B 1 C 2sin A.sin B c) = (tan A + tan B) d) cot = cos A + cosB 2 2 sinCBài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: 3 3 π a) sin A + sin B + sinC HD: Cộng sin vào VT. 2 3 3 π b) cos A + cosB + cosC HD: Cộng cos vào VT.

Xem thêm: Hướng Dẫn Tập Làm Văn Lớp 3 Kể Lại Một Trận Thi Đấu Thể Thao Lớp 3 Ngắn Nhất

2 3 c) rã A + tung B + tanC 3 3 (với A, B, C nhọn) 1 1 d) cos A.cosB.cosC HD: Biến đổi cos A.cosB.cosC − về dạng hằng đẳng 8 8 thức.Bài 21. A) Trang 72Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 73