Trong bài viết này sẽ nói tới ứng dụng của đạo hàm chính là tìm số lượng giới hạn của hàm số. Nhờ vào những bí quyết đạo hàm sẽ học ta đã tìm số lượng giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, những giới hạn sệt biệt. Để học xuất sắc bài này, em cần không chỉ có nắm vững kỹ năng đạo hàm cơ bản mà còn bắt buộc hiểu rõ lý thuyết về giới hạn.
Bạn đang xem: Tìm giới hạn
Cơ sở lý thuyết
Từ định nghĩa đạo hàm (f"(x_0) = mathop lim limits_x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0),ta thấy hoàn toàn có thể sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số. Thế thể
Để tính $A = mathop lim limits_x o x_0 fracg(x)x – x_0 $, biết $g(x_0) = 0 $.
Ta viết $g(x) = f(x) – f(x_0) $. Lúc đó nếu f(x) có đạo hàm trên $x_0 $ thì: $A = mathop lim limits_x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0 = f"(x_0) $.
Để tính: $B = mathop lim limits_x o x_0 fracF(x)G(x) $, biết $F(x_0) = G(x_0) = 0 $.
Ta viết $F(x) = f(x) – f(x_0) $ và $G(x) = g(x) – g(x_0) $.
Nếu hai hàm số $f(x),g(x) $ bao gồm đạo hàm trên $x = x_0 $và $g"(x_0) e 0 $ thì: $B = mathop lim limits_x o x_0 fracfracf(x) – f(x_0)x – x_0fracg(x) – g(x_0)x – x_0 = fracf"(x_0)g"(x_0) $.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm số lượng giới hạn $A = mathop lim limits_x o 0 frac(1 + 3x)^3 – (1 – 4x)^4x $ bằng phương pháp sử dụng đạo hàm
A.25
B.26
C.27
D.28
Hướng dẫn giải
Xét hàm số (f(x) = (1 + 3x)^3 – (1 – 4x)^4 Rightarrow A = f"(0) = 25)
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau $A = mathop lim limits_x o 1 fracsqrt<3>2x – 1 – 11 – sqrt 2 – x^2 $
A.(frac23)
B.1
C.2
D.(frac32)
Hướng dẫn giải
Đặt $f(x) = sqrt<3>2x – 1 – 1 Rightarrow f"(x) = frac23.sqrt<3>(2x – 1)^2 Rightarrow f"(1) = frac23 $và $g(x) = 1 – sqrt 2 – x^2 Rightarrow g"(x) = fracxsqrt 2 – x^2 Rightarrow g"(1) = 1 $.
$eginarraylA = mathop lim limits_x o 1 fracf(x)g(x) = mathop lim limits_x o 1 fracf(x) – f(1)g(x) – g(1)\ = mathop lim limits_x o 1 fracfracf(x) – f(1)x – 1fracg(x) – g(1)x – 1 = fracf"(1)g"(1) = frac23endarray $.
Ví dụ 3. Cho số lượng giới hạn $C = mathop lim limits_x o 1 fracsqrt<3>26x^3 + 1 – sqrt<4>80x^4 + 1sqrt x – 1 $. Phụ thuộc đạo hàm nhằm tìm số lượng giới hạn trên
A.(frac – 427)
B.1
C.2
D.(frac427)
Hướng dẫn giải
Đặt $g(x) = sqrt x – 1 Rightarrow g"(x) = frac12sqrt x Rightarrow g"(1) = frac12 $ và
$eginarraylf(x) = sqrt<3>26x^3 + 1 – sqrt<4>80x^4 + 1\ Rightarrow f"(x) = frac26sqrt<3>(26x^3 + 1)^2 – frac80x^3sqrt<4>(80x^4 + 1)^3endarray $
$ Rightarrow f"(1) = frac – 227 $.
Khi đó: $C = mathop lim limits_x o 1 fracf(x)g(x) = mathop lim limits_x o 0 fracfracf(x) – f(1)x – 1fracg(x) – g(1)x – 1 = fracf"(1)g"(1) = – frac427 $.
Ví dụ 4. Hãy sử dụng đạo hàm nhằm tìm số lượng giới hạn sau (E = mathop lim limits_x o 0 fracsqrt<3>4 – 2x + x^2 – sqrt<3>4 + 2x + x^2sqrt 2 + x – sqrt 2 – x )
A.(fracsqrt<3>4.sqrt 2 3)
B.( – fracsqrt<3>4.sqrt 2 3)
C.( – fracsqrt<3>43)
D.1
Hướng dẫn giải
Xét hai hàm số $f(x) = sqrt<3>4 – 2x + x^2 – sqrt<3>4 + 2x + x^2 $(g(x) = sqrt 2 + x – sqrt 2 – x )
Ta có: (E = fracf"(0)g"(0) = – fracsqrt<3>4.sqrt 2 3).
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau : (A = mathop lim limits_x o 0 fracsqrt 1 + 2x^2 – sqrt<3>1 + 3x^21 – cos x)bằng bí quyết đạo hàm đã có được học
Hướng dẫn giải
Ta có: (A = mathop lim limits_x o 0 fracfracsqrt 1 + 2x^2 – sqrt<3>1 + 3x^2x^2frac2sin ^2fracx2x^2 = mathop lim limits_x o 0 fracf(x)frac2sin ^2fracx2x^2).
Mà (mathop lim limits_x o 0 frac2sin ^2fracx2x^2 = frac12mathop lim limits_x o 0 left( fracsin fracx2fracx2 ight)^2 = frac12).
Đặt (t = x^2 Rightarrow mathop lim limits_x o 0 f(x) = mathop lim limits_t o 0 fracsqrt 1 + 2t – sqrt<3>1 + 3tt = 0).
Xem thêm: Văn Tả Người Thân Của Em Lớp 6, Bài Văn Mẫu Lớp 6: Kể Về Một Người Thân Của Em
Vậy (A = 0).
Hy vọng với phần hướng dẫn chi tiết từ cơ sở triết lý đến bài xích tập vận dụng để giúp đỡ em tìm kiếm được giới hạn hàn số một phương pháp nhanh. Mọi vướng mắc em vui mắt để lại phần dưới phản hồi để admin hoàn toàn có thể trả lời bỏ ra tiết. Chúc em học tốt
Previous Post Previous post: Sử dụng máy tính casio fx 580 nhằm bấm máy vi tính nguyên hàm giải đủ phần nhiều dạng