Ta thấy ở nhị ví dụ trên đều có . Ta call là một trong những nguyên hàm của . Bởi với $C$ là một hằng số bất kỳ, ta tất cả cần nếu là nguyên hàm của thì cũng là 1 nguyên hàm của . Ta call Họ nguyên hàm của .

Bạn đang xem: Tìm nguyên hàm của hàm số

Ký hiệu:

VD: .

b) Tính chất

, $k$ là hằng số

dx=intfleft( x ight)dx+intgleft( x ight)dx>

dx=intfleft( x ight)dx-intgleft( x ight)dx>

2. Bảng nguyên hàm của một trong những hàm số thường gặp

*

3. Các phương pháp

Phương pháp 1. Áp dụng cách làm nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:

• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$

.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$

•$I=intfracdx2x=frac12int x ight$

• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12intfracdleft( cos 2x ight)cos 2x=-frac12ln left$

• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$

• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$

• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$

Phương pháp 2. Cách thức đổi biến

a) những dạng đổi biến số thường xuyên gặp

*

*

b) Ví dụ

• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$

Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ kia ta được:

$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$

$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$

• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$

Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ đó ta được:

$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$

$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$

• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$

Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$

$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12int t ight$

Phương pháp 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần

a) ngôn từ phương pháp

Phương pháp này thường được áp dụng khi ta phải tính nguyên hàm của một tích. Trả sử buộc phải tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta làm cho như sau:

*

b) Chú ý

Thứ từ bỏ ưu tiên đặt $u$ trong phương thức Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít $ o $ Đa thức $ o $ lượng chất giác $ o $ Hàm mũ

c) Ví dụ

•$I=intx extsin2xdx$

*

$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$

•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$

Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.

*

$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$

*

Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$

•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$

*
$Rightarrow I=x.ln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2intln left( x+sqrtx^2+1 ight).fracxdxsqrtx^2+1$

$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$

•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta bao gồm $I=intfracln ^2xx^2dx$.

*

Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$

Phương pháp 4. Phối hợp đổi trở nên số và phương pháp nguyên hàm từng phần

•$I=intsin sqrtxdx$

Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$

*

Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$

•$I=intsin left( ln x ight)dx$.

*

Từ kia $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$

•$I=intx^8e^x^3dx$.

*
 

Từ kia $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$

•$I=inte^sqrtxdx$.

*

Phương pháp 5. Tìm nguyên hàm bằng phương thức dùng nguyên hàm phụ

Giả sử buộc phải tính $I=intfleft( x ight)dx$. Lúc đó ta tìm kiếm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ thế nào cho việc tính $I+J$ với $I-J$ dễ dàng và đơn giản hơn. Chẳng hạn:

• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$

Ta có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$

Khi đó:

$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$

$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$

Từ đó suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$

• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Ta có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Khi đó:

$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$

$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$

Từ đó suy ra:

$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

B. Bài bác tập từ luyện

Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$

A.  <3x^2-2+C> B.

C.   D.

Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$

A. B.

C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>

Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$

A. B. <5e^3x-ln left| 6x+7 ight|+C>

C. D. <5e^3x-frac16ln left| 6x+7 ight|+C>

Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$

A. B.  <-frac12sqrtx+C>

C. $frac32xsqrtx+C$ D.  

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$

A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$

A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 7: Cho . Đặt t=2sinx+1, lúc ấy

A.   B.

C. D.  

Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$

A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.  

C. D.  

Câu 9: Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. B.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

C. D.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

Câu 10: Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B.  dx=intf(x)dxpm intg(x)dx>

C.  D.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$

A.   B. <3 an (2x-1)+C>

C.  <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>

Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Lúc đó

A.

Xem thêm: Giải Tập Bản Đồ Địa Lý 7 - Giải Tập Bản Đồ Địa Lí 7 Ngắn Nhất

m + n + k = 5 B. m + n + k = 7

C.  m + n + k =12 D.  m + n + k = 16

Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Khi ấy

A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C.  2m + n =6 D.  2m + n = 8

Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Khi ấy