Bất phương trình Logarit là 1 trong nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình toán 12. Vày vậy, nắm rõ được bản chất và những cách giải bất phương Logarit là điều cực kỳ cần thiết.



Để nạm đượclý thuyết và phương pháp giải bài tập về bất phương trình Logarit hãy tò mò kiến thức bao quát về bất phương trình Logarit trước nhé. Xem tại bảng bên dưới đây:

*

1. Phương trình cùng bất phương trình Logarit

1.1. Phương trình Logarit

Phương trình Logarit là phương trình tất cả chứa ẩn số trong biểu thức dưới lốt Logarit, bao gồm dạng $log_ax=b (a> b; a eq 1; x> 0)$ trong đó, x là ẩn số đề nghị đi tìm.

Bạn đang xem: Tìm tập nghiệm của bất phương trình logarit

Chứng minh phương trình trên tất cả nghiệm:

- Áp dụng quan niệm Logarit ta có: $log_ax=b Leftrightarrow x=a^b$

- Minh họa bằng đồ thị hàm số, ta có:

*

Ta hoàn toàn có thể thấy thiết bị thị của những hàm số $y=log_ax$ cùng y=b luôn cắt nhau trên một điểm $forall bin R$

Như vậy, phương trình Logarit$log_ax=b (a> b; a eq 1; x> 0)$ luôn luôn có nghiệm độc nhất vô nhị là $x=a^b$ với tất cả b

- Ví dụ: $log_3x=2 Leftrightarrow x=3^2=9$

1.2. Bất phương trình Logarit

Tương tự như phương trình Logarit,bất pt Logarit bao gồm dạng $log_ax> b; log_axgeqslant b; log_ax 0; a eq 1; x> 0$

Chứng minh bất phương trình Logarit $log_ax> b$ bao gồm nghiệm

- Xét bất phương trình Loga, ta có:

+ Trường hợp $a>1:log_ax> b Leftrightarrow x> a^b$

+Trường vừa lòng $0 b Leftrightarrow 0

- Minh họa bất phương trình $log_ax> b$bằng thiết bị thị cùng với 2 trường hợp, ta có:

*

Như vậy:

+ Trường phù hợp a>1:$log_ax> b$ khi và chỉ khi $x> a^b$

+ Trường vừa lòng 0 b$ khi và chỉ còn khi $0

- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình Logarit $log_ax> b$ bao gồm

$log_ax> b$$a> 0$$a
Nghiệm$x> a^b$$0

Ví dụ: $log_3x> 5 Leftrightarrow x> 3^5 Leftrightarrow x= 243$

2. Những cách giải bất phương trình logarit

Để giải những bất pt Logarit, họ có những cách sau:

2.1. Giải bất PT Logarit bằng phương thức đưa về thuộc cơ số

Ví dụ 1: (THPT Hàm long 2019) Bất phương trình $log_4(x+7)> log_2(x+1)$ bao gồm bao nhiêu nghiệm nguyên

A. 3 B.1 C.4 D.2

Lời giải:Chọn D

Điều kiện xác minh của bất phương trình Logarit là:

$left{eginmatrixx+7> 0 và & \ x+1> 0 và & endmatrix ight.Leftrightarrow left{eginmatrixx> -7 và & \ x> -1& và endmatrix ight.Leftrightarrow x> -1$

Ta có: $log_4(x+7)> log^2(x+1)Leftrightarrow frac12log_2(x+7)> log^2(x+1)Leftrightarrow log_2(x+7)> log_2(x+1)^2$

$Leftrightarrow x^2+x-6

Kết hợp điều kiện bpt logarit ta được: $-1

Vì $xin Z $ đề nghị tìm đượcx=0, x=1

Ví dụ 2: (THPT hai bà trưng - Huế - 2019) Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bpt logarit $log_frac12> 0$

A. vô vàn B.1 C.0 D.2

Lời giải: lựa chọn C

$log_frac12> 0$

$Leftrightarrow 0

$Leftrightarrow 1

$Leftrightarrow left{eginmatrix2-x^2 1& & endmatrix ight.Leftrightarrow left{eginmatrixx^2> 0& và \ x^2

Kết phù hợp với giả thiết x là số nguyên, ta thấy không tồn tại số nguyên x nào vừa lòng bpt logarit$log_frac12> 0$

Từ 2 lấy ví dụ trên đến thấy, nhằm áp dụng phương pháp đưa về thuộc cơ số, ta chỉ cần phân tích, đổi khác các cơ số về thành cơ số chung. Từ kia ta đưa về dạng bất phương trình cơ bản và giải như bình thường.

2.2. Giải bất phương trình Logarit bằng cách thức đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: (Mã 123 2017) tìm tập nghiệm S của bpt logarit $log_2^2x-5log_2x+4geqslant 0$

A. $S=(-infty;1>cup <4;+infty >$

B.$S=<2;16>$

C.$S=(0;2>cup <16;+infty>$

D. $S= (-infty;2)cup<16;+infty)$

Lời giải: chọn C

- Điều kiện x>0

- BPT tương đương:$log_2xgeqslant 4$ hoặc $log _2xgeqslant 1log _2xgeqslant 1$

$xgeqslant 16$ hoặc $xleqslant 2$

- kết hợp điều khiếu nại ta có: $S=(0;2>cup <16;+infty >$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $log_x2(2+log_2x)> frac1log_2x2$

Lời giải:

Điều kiện $left{eginmatrixx> 0 và & \ x eq 1& & \ x eq frac12& và endmatrix ight.$

(4) $log_x2(2+log_2x)> log_2(2x)Leftrightarrow log_x2(2+log_2x)> 1+log_2x$

Đặt $t=log_2x$, ta có:

$frac1t(2+t)> 1+tLeftrightarrow frac2+t-t(1+t)t> 0Leftrightarrow frac-t^2+2t> 0$ khi và chỉ còn khi: $0

+ cùng với trường đúng theo $0

+ cùng với trường phù hợp $t

Vậy tập nghiệm của BPT (4) là $xin (0;2^-sqrt2)cup (1;2^sqrt2)$

Từ các ví dụ minh họatrên, ta hoàn toàn có thể thấy mục đích của cách thức này chính là biến hóa bất pt logarit sống đề bài xích về các dạng bất phương trình logarit đại số quen thuộc. Để có tác dụng được như vậy, họ chỉ đề nghị phân tích cùng tìm ra điểm phổ biến giữa những cơ số. Tiếp đến đặt tên đến cơ số phổ biến rồi đem về dạng bất phương trình $ax^2+bx+c geqslant 0$rồi giải như bình thường.

Xem thêm: Giáo Án Tiếng Anh Lớp 11 Chương Trình Thí Điểm Năm Học 2020, Tiếng Anh 11 Thí Điểm

2.3. Giải bất phương trình Logaritbằng phương thức hàm số

Ví dụ 1: Cho bất phương trình: $x+ log_2sqrtx+1+log_3sqrtx+9> 1 (5)$

Lời giải:

Điều khiếu nại $x> -1$

Bất pt Logarit

$Leftrightarrow x+frac12log_2(x+1)+frac12log_3(x+9)> 1Leftrightarrow g(x)=2x+log_2(x+1)+ log_3(x+9)> 2$

$g"(x)= 2+ frac1(x+1)In2+frac1(x+9)In3> 0Rightarrow g(x)$ đồng biến hóa trên $(-1;+infty )$

BPT $Leftrightarrow g(x)> g(0)Leftrightarrow x> 0$

Vậy nghiệm của BPT là $(0;+infty )$

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $2x^2-10x+10> log_2frac2x-2(x-2)^2$ (6)

Lời giải

Điều kiện: $x> frac12;x eq 2$

Khi đó BPT $Leftrightarrow 2(x-2)^2+ log_2(x-2)^2> 2.frac2x-12+log_2frac2x-12$

Ta có: $f<(x-2)^2)> > g frac2x-12Leftrightarrow (x-2)^2> frac2x-12$

Đáp số: $x> frac5+sqrt72; frac5-sqrt72> x> frac12$

Bên cạnh cách thức đưa về cùng cơ số hoặc để ẩn phụ, họ hoàn toàn có thể áp dụng tính solo điệu của hàm số để tìm ra tập nghiệm của những bất phương trình Logarit.

3. Các bài tập vềbất pt Logarit hay nhất, tất cả lời giải

Tải trọn bộ đề + đáp án bài xích tập Bất phương trình logarit tại:Tuyển chọn BT bất phương trình logarit

Trên đấy là những công thức cũng như bài tập vận dụng về bất phương trình Logarit mà những em rất có thể tham khảo. Chúc em học tốt!