Trong không gian, bố trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc cùng nhau từng đôi một. Call $overrightarrow i, overrightarrow j, overrightarrow k$ cùng với $overrightarrow i(1;0;0),$ $overrightarrow j(0;1;0),$ $overrightarrow k(0;0;1)$ thứu tự là những vectơ đơn vị chức năng trên những trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục này được call là hệ tọa độ Oxyz.

*

Trong đó:

- O là nơi bắt đầu tọa độ.

- các mặt phẳng (Oxy, Oyz, Ozx) đôi một vuông góc với nhau được call là những mặt phẳng tọa độ.

- không gian với hệ tọa độ Oxyz được điện thoại tư vấn là không gian Oxyz.

Vì$overrightarrow i, overrightarrow j, overrightarrow k$ là tía vectơ đơn vị chức năng đôi một vuông góc cùng nhau nên:

$overrightarrow i^2, overrightarrow j^2, overrightarrow k^2 = 1$

Và $overrightarrow i .overrightarrow j = overrightarrow j .overrightarrow k = overrightarrow k .overrightarrow i = 0$.

2. Tọa độ của một điểm

$overrightarrow OM = xoverrightarrow i + yoverrightarrow j + zoverrightarrow k$

*

Gọi bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz, được viết: $M = left( x;y;z ight)$ hoặc $Mleft( x;y;z ight)$.

3. Tọa độ của vectơ

Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $overrightarrow OM$. Ta có:

$M = left( x;y;z ight) Leftrightarrow overrightarrow OM = left( x;y;z ight)$

II. Biểu thức tọa độ của phép toán vectơ

Định lí

Trong không gian Oxyz, cho nhì vectơ $overrightarrow a = left( a_1;a_2;a_3 ight)$ cùng $overrightarrow b = left( b_1;b_2;b_3 ight)$. Ta có:

a) $vec a + overrightarrow b = left( a_1 + b_1;a_2 + b_2;a_3 + b_3 ight)$.

b) $vec a - overrightarrow b = left( a_1 - b_1;a_2 - b_2;a_3 - b_3 ight)$.

c) $kvec a = kleft( a_1;a_2;a_3 ight) = left( ka_1;ka_2;ka_3 ight)$ cùng với k là một trong những thực.

Hệ quả

a) đến vectơ$overrightarrow a = left( a_1;a_2;a_3 ight)$ và $overrightarrow b = left( b_1;b_2;b_3 ight)$.

Ta có:

$vec a = overrightarrow b = left{ eginarrayl a_1 = b_1\ a_2 = b_2\ a_3 = b_3 endarray ight.$

b) Vectơ $overrightarrow 0$ gồm tọa độ là $left( 0;0;0 ight)$.

c) với $overrightarrow b e overrightarrow 0$ thì nhị vectơ $vec a$ với $overrightarrow b$ cùng phương khi còn chỉ khi có một số k sao cho: $a_1 = kb_1,a_2 = kb_2,a_3 = kb_3$.

d) Trong không khí Oxyz, nếu mang đến hai điểm $Aleft( x_A;y_A;z_A ight),Bleft( x_B;y_B;z_B ight)$ thì:

* $overrightarrow AB = overrightarrow OA - overrightarrow OB = left( x_A - x_B;y_A - y_B;z_A - z_B ight)$

* Tọa độ trung điểm M của đoạn trực tiếp AB là:

$Mleft( fracx_A + x_B2;fracy_A + y_B2;fracz_A + z_B2 ight)$.

III. Tích vô hướng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $overrightarrow a = left( a_1;a_2;a_3 ight)$ với $overrightarrow b = left( b_1;b_2;b_3 ight)$ được xác minh bởi công thức:

$overrightarrow a .overrightarrow b = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3$

2. Ứng dụng

a) Độ nhiều năm của vectơ: $left| overrightarrow a ight| = sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$

b) khoảng cách giữa nhị điểm: $AB = left| overrightarrow AB ight| = sqrt left( x_B - x_A ight)^2 + left( y_B - y_A ight)^2 + left( z_B - z_A ight)^2$

c) Góc thân hai vectơ: $cos varphi = cos left( vec a,overrightarrow b ight) = fraca_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 .sqrt b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 $.


Bạn đang xem: Trục oxyz


Xem thêm: Công Dụng Cây Trinh Nữ Hoàng Cung, Trinh Nữ Hoàng Cung Có Tác Dụng Gì

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

Trong không khí Oxyz, mặt ước (S) tâm $Ileft( a;b;c ight)$ bán kính r có phương trình là:

$left( x - a ight)^2 + left( y - b ight)^2 + left( z - c ight)^2 = r^2$

*