Công thức tính độ dài trung tuyến đường trong tam giác & các dạng bài bác tập

Sau đây trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ share đến chúng ta công thức tính độ lâu năm trung tuyến đường trong tam giác rất hay và những dạng toán yêu mến gặp. Hãy chia sẻ để nắm chắc chắn thêm phần kiến thức Hình học 12 vô cùng đặc trưng này chúng ta nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC 


1. Đường trung tuyến đường là gì? Đường trung đường trong tam giác là gì?

Bạn đang xem: công thức tính độ lâu năm trung con đường trong tam giác & những dạng bài xích tập

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một trong đường thẳng trải qua trung điểm của mặt đường thẳng đó


Đường trung tuyến đường trong tam giác là một đoạn trực tiếp nối từ đỉnh của tam giác tới những cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 mặt đường trung tuyến.

Bạn đang xem: Trung tuyến tam giác đều

2. đặc điểm của con đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều phải sở hữu tính hóa học của mặt đường trung con đường khác nhau.

Đường trung con đường trong tam giác thường bao gồm 3 đặc thù như sau:

3 đường trung tuyến đường trong tam giác cùng đi sang 1 điểm, đặc điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng chừng bằng độ lâu năm của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.Giao điểm của 3 mặt đường trung con đường được hotline là trọng tâmVị trí trọng tâm trong tam giác: trung tâm của 1 tam giác biện pháp mỗi đỉnh 1 khoảng chừng bằng độ dài con đường trung tuyến trải qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung đường của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là một trong những trường hợp quan trọng đặc biệt của tam giác, vào đó, tam giác sẽ có được một góc tất cả độ khủng là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

– vì chưng đó, đường trung con đường của tam giác vuông đã có tương đối đầy đủ những tính chất của một con đường trung tuyến đường tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung đường ứng cùng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác bao gồm trung tuyến đường ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính hóa học đường trung đường của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung tuyến ứng với cạnh lòng thì vuông góc cùng với cạnh đấy, và phân chia tam giác thành 2 tam giác bởi nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN vào TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài mặt đường trung con đường của cạnh ngẫu nhiên bằng căn bậc 2 của 1 phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ 1 phần tư bình phương cạnh đối.


*

Trong đó: a, b ,c theo thứ tự là những cạnh vào tam giác

ma, mb, mc lần lượt là gần như đường trung tuyến trong tam giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Minh chứng rằng trường hợp b2 + c2 = 5a2 thì nhì trung tuyến đường kẻ trường đoản cú B với C của tam giác vuông góc cùng với nhau.

Lời giải:

*
phương pháp tính độ dài con đường trung con đường (ảnh 6)" />

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trung tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mb, CD = mc

Áp dụng cách làm trung tuyến đường trong tam giác ABC ta có:

*
cách làm tính độ dài đường trung con đường (ảnh 7)" />

Vậy b2 + c2 = 5a2 thì nhị trung tuyến đường kẻ từ B và C của tam giác vuông góc cùng với nhau. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC bao gồm BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung tuyến đường của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ dài trung đường từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC theo thứ tự là ma; mb; mc.

Áp dụng công thức trung con đường ta có:

*
cách làm tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 4)" />

Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) đề xuất nó luôn dương, vì chưng đó:

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 5)" />

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, hai đường trung đường BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG giảm BC tại H.

a. đối chiếu tam giác AHB và tam giác AHC.

b. điện thoại tư vấn I với K lần lượt là trung điểm của GA cùng GC. Minh chứng rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

*
bí quyết tính độ dài mặt đường trung tuyến (ảnh 11)" />

a. Ta tất cả BD là đường trung con đường của tam giác ABC

CE là mặt đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trung tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G phải AH là mặt đường trung tuyến đường của tam giác ABC

HB = HC

Xét nhị tam giác AHB với tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta tất cả IA = IG đề xuất CI là đường trung con đường của tam giác AGC (1)

Ta lại có KG = KC nên AK là mặt đường trung đường của tam giác AGC (2)

DG là con đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 con đường trung tuyến đường CI, AK, DG đồng quy trên I

Bài 2: Cho tam giác ABC bao gồm BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung đường của tam giác ABC.

Xem thêm: Trang Trí Bàn Thờ Tết Đẹp - Trang Trí Bàn Thờ Tết Phong Thủy Đầy Đủ Nhất 2023

Lời giải:

Gọi độ lâu năm trung tuyến đường từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng bí quyết trung tuyến đường ta có:

*

Vì độ dài các đường trung đường (là độ lâu năm đoạn thẳng) đề xuất nó luôn luôn dương, bởi đó:

*

Bài 3: Cho tam giác MNP cân nặng tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ con đường tuyến MI. Minh chứng MI ﬩ NP

Lời giải:

Ta gồm MI là đường trung con đường của ∆MNP phải IN = IP

Mặt không giống ∆MNP là tam giác cân tại M

=> mi vừa là đường trung con đường vừa là đường cao

=> mày ﬩ NP

Bài 4: Cho tam giác ABC gồm AB = AC, call K là giao điểm của hai tuyến phố trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bởi nhau

b. KB = KC

c. BC

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung đường (ảnh 12)" />

a. Ta có: AB = AC (gt)

*
phương pháp tính độ dài mặt đường trung đường (ảnh 13)" />

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

*
cách làm tính độ dài con đường trung tuyến đường (ảnh 14)" />

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là mặt đường trung tuyến)

MA = MC (MB là con đường trung tuyến)

Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC

*
cách làm tính độ dài đường trung tuyến đường (ảnh 15)" />

Xét tam giác NKM có:

NM 2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta bao gồm ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền phải AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông trên A, vận dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương từ ta xét tam giác AFB vuông trên A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 centimet ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ giữa trung tâm G của tam giác đến những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài bố đường trung đường của tam giác ABC. Xác định nào sau đấy là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

*

Lời giải:

Áp dụng phương pháp trung tuyến đường trong tam giác ABC ta có:

*

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến 

*
. Độ nhiều năm AC là:

*

Hướng dẫn giải:

*

BM là trung tuyến đường của tam giác ABC, áp dụng công thức trung con đường ta có:

*

Đáp án B